ПРИРУЧЕНИЕ КРИВОЙ КОХА. РАЗМЕРНОСТЬ D=ln4/ln3≈1,2618

Я утверждаю, что кривая Коха является грубой, но математически строгой моделью береговой линии. В качестве первой количественной проверки рассмотрим длину L(?) троичного терагона Коха, длина сторон которого равна ?. На этот раз длину кривой можно измерить точно, получив при этом чрезвычайно удовлетворительный результат:

L(?)=?^1?D.

Эта точная формула оказывается идентичной эмпирическому закону Ричардсона о длине побережья Британии. Для троичной кривой Коха имеем

D=ln4/ln3?1,2618,

откуда следует, что значение D находится внутри интервала значений, полученных Ричардсоном!

< Доказательство: Очевидно, что L(1)=1, а

L(?/3)=(4/3)L(?).

Это уравнение имеет решение вида L(?)=?^1?D если D удовлетворяет соотношению 3^D?1=4/3.

Следовательно, D=ln4/ln3, что и следовало доказать. ?

Разумеется, в случае кривой Коха показатель D представляет собой не эмпирическую, а математическую постоянную. Таким образом, аргументы в пользу того, чтобы считать этот показатель размерностью, становятся еще более убедительными, чем в случае береговых линий.

С другой стороны, аппроксимативная хаусдорфова протяженность в размерности D (понятие, введенное в предыдущей главе) равна произведению ?^D на количество отрезков длины ?, т. е. ?^D?^?D=1. Неплохое подтверждение тому, что величина D представляет собой хаусдорфову размерность. К сожалению, данное Хаусдорфом определение этой размерности весьма плохо поддается строгой математической трактовке. И даже если бы это было не так, идея обобщения понятия размерности на множество нецелых чисел настолько широка и чревата настолько серьезными последствиями, что более глубокое ее обоснование можно только приветствовать.