ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ В РОЛИ СУБОРДИНАТОРА

Линейная пыль Леви из главы 31 была первым субординатором у Бохнера, и с тех пор чистая математика использует ее в качестве субординатора настолько широко, что соответствующую лестницу Леви часто называют устойчивой субординаторной функцией. Для получения подобных субординаторных множеств применяется самоподобный субординанд – такой, как броуновское или дробное броуновское движение.

Заметим, что, хотя для броуновского движения характерна размерность 2, броуновское движение, ограниченное прямой, имеет размерность 1. Следовательно, правило из предыдущего раздела принимает несколько иной вид

D_{субордината}=min{E, 2?D_{субординатора}}.

В общем случае для дробного броуновского движения характерна размерность 1/H, однако

D_{субордината}=min{E, D_{субординатора}/H}.

Таким образом, размерность E пространства, которое может быть полностью заполнено этим субординатным множеством, не превышает целой части числа 1/H.

Броуновское движение в роли субординанда. Наиболее значительным субординандом является броуновский след. Броуновское отображение моментов времени, ограниченных линейной пылью Леви с размерностью D/2, лежащей в интервале между 0 и 1, представляет собой пространственную пыль с произвольной размерностью D, лежащей в интервале между 0 и 2. Представляется уместным назвать такое отображение пространственной пылью Леви.

Учитывая, что и паузы пыли – субординатора, и приращения субординанда статистически независимы, можно предположить, что приращения процесса субординации также статистически независимы. А учитывая, что длины пауз субординатора удовлетворяют соотношению Pr(W>?)=?^?D/2 и что за время паузы продолжительностью ? броуновское движение пройдет расстояние порядка u=??, можно предположить, что паузы пространственной пыли, по всей видимости, удовлетворяют соотношению Pr(U>u)=Pr(W>u²)=u^?D. Можно показать, что так оно в самом деле и есть.