2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА КОШИ

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

Поскольку практически настроенные ученые не склонны подвергать сомнению соотношение <X2><?, широко распространено мнение о том, что гауссово распределение является единственным устойчивым распределением. Это определенно не соответствует истине, о чем нам первым поведал Коши еще в 1853 г. (см. [71], с. 206). Коши приводит в пример некую случайную величину (впервые рассмотренную Пуассоном и называемую теперь «приведенной переменной Коши»), которая удовлетворяет следующему равенству

Pr(X>?x)=Pr(X<x)=?+??1tg?1x;

отсюда

плотность Коши=1/[?(1+x2)].

Коши показал, что эта случайная величина является решением системы уравнений, составленной из (L) и альтернативного вспомогательного соотношения

(A:1) s1+s2=s.

Для случайной величины Коши <X2>=? или, точнее, <X>=?. То есть для выражения такой очевидной вещи, как равенство масштаба произведения случайной величины X на некоторое неслучайное число s произведению s на масштаб X, нам потребуется для измерения масштаба величина, отличная от среднеквадратического значения. Одним из кандидатов на эту роль является расстояние между квартилями Q и Q', где Pr(X<Q')=Pr(X>Q)=?.

Чаще всего случайная величина Коши используется в качестве контрпримера, как это сделано, например, в [33], с. 321 – 323. См. также [212].

Геометрическая порождающая модель. Вышеприведенную формулу Pr(X<x)=?+??1tg?1x можно реализовать геометрически, разместив точку W с равномерным распределением вероятностей на окружности u2+v2=1 и определив X как абсциссу точки, в которой прямая, проходящая через начало координат O и точку W, пересекает прямую v=1 . Случайная величина Y, определяемая в этом же построении как ордината точки, в которой прямая, проходящая через O и W, пересекает прямую u=1, имеет то же распределение, что и X. Поскольку Y=1/X, получается, что величина, обратная случайной величине Коши, также является случайной величиной Коши.

Более того: всякий раз, когда вектор OW=(X,Y) является изотропно распределенным случайным вектором в плоскости, величина Y/X является случайной величиной Коши. В частности, отношение двух независимых гауссовых случайных величин есть случайная величина Коши.