ПОНЯТИЕ О МНОЖЕСТВЕ СКЕЙЛИНГОВЫХ ОСТАТКОВ

Стандартные интервалы. Полуоткрытый интервал ]0,1], включающий в себя правую концевую точку и не включающий левую, является масштабно-инвариантным, так как он состоит из N=2 уменьшенных копий себя ]0,1/2] и ]1/2,1]. А вот открытый интервал ]0,1[ нельзя считать масштабно-инвариантным, так как кроме N=2 своих копий меньшего масштаба ]0,?[и ]?,1[ он включает в себя и среднюю точку x=1/2. Я предлагаю назвать эту среднюю точку скейлинговым (или масштабным) остатком. При вычислении D - и во многих других случаях – ею можно пренебречь. Физик сказал бы, что она характеризуется меньшим физическим порядком величины, чем целое и части.

Приведенный пример может ввести нас в искушение рассматривать все остаточные члены как порожденные излишней педантичностью усложнения, никак не влияющие на результат масштабирования. Однако в аналогичных примерах, относящихся к фракталам, которые я называю неоднородными фракталами, остаток может приобрести неожиданно большую значимость. Неоднородный фрактал – это сумма (или разность) множеств с различной фрактальной и топологической размерностью. Ни одно из этих множеств нельзя полностью исключить из рассмотрения, даже если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и в топологическом смысле. И между ними часто возникают конфликты с весьма интересными и значительными последствиями.

Канторовы пылевидные множества и изолированные точки. Построим канторову пыль, разделив интервал [0,1] на b=4 части, и сохранив крайние [0,?] и [?,1]. Альтернативный способ – удаление интервалов ]?,?[ и ]?,?[ - дает ту же пыль и остаточную точку x=1/2. Эта изолированная точка не является фракталом, так как и D_T, и D в этом случае равны 0.

При обобщении на пространство ?^E канторова пыль имеет размерности D_T=0 и D>0, а для нефрактального множества остатков верно равенство D_T=D=E?1. То есть остаток вполне может превосходить пыль топологически и/или фрактально.