СУБОРДИНАЦИЯ ПРИМЕНИМА И К НЕСЛУЧАЙНЫМ ФРАКТАЛАМ

Для более глубокого понимания природы фрактальной субординации применим ее к некоторым фрактальным кривым Коха и Пеано. (Как это ни странно, но настоящее обсуждение является, по всей видимости, первым случаем упоминания субординации и неслучайном контексте.)

Идея заключается в модификации посредством замены генератора (при неизменном инициаторе) не некоторое подмножество исходного генератора. Такая операция замещает предельное фрактальное множество (которое мы будем называть субординантом) на некоторое субординантное подмножество (или субординат). Рассмотрим сначала примеры, а затем введем весьма важное правило – правило умножения размерностей.

Пример с D<2. Возьмем четырехзвенный генератор троичной кривой Коха (его мы применяли для построения фигуры на рис. 70). Если стереть второе и третье звенья, получится классический генератор троичной канторовой пыли (рис. 120). Таким образом, канторова пыль является субординантным подмножеством для трети коховой снежинки. Можно получить и другую субординантную пыль, не ограниченную прямой, если стереть, например, первое и третье из N=4 звеньев генератора Коха. В любом случае субординация изменяет размерность ln4/ln3 на ln2/ln3. Если стереть только одно звено генератора, то субординантная пыль не окажется подмножеством прямой, хотя ее размерность равна ln3/ln3=1.

Пример с D=2. Возьмем четырехзвенную ломаную, получаемую на втором этапе построения кривой Пеано – Чезаро (рис. 98), и удалим второе и третье звенья. Новый генератор представляет собой не что иное, как сам интервал [0,1]! Таким образом, прямолинейный интервал является субординатом кривой Пеано – Чезаро (самым что ни на есть тривиальным!) Удалив иной набор из двух звеньев, получим фрактальную пыль с размерностью D=1. Удаление одного звена дает множество с размерностью ln3/ln2.