СЛЕДСТВИЯ «ПРОМЕЖУТОЧНОСТИ» СЛУЧАЙНОГО ТВОРОГА

Известно, что в трехмерном пространстве стандартные фигуры с размерностью D<3 (точки, линии и поверхности) имеют нулевой объем. Это верно и для случайного творога.

Площадь предтворогов также ведет себя довольно просто. При D>2 она стремится к бесконечности, а при D<2 - к нулю. При D=2 створаживание практически не изменяет величину площади.

Аналогичным образом, по мере того, как m??, суммарная длина краев предтворогов стремится к бесконечности при D>1 и к нулю при D<1.

Эти свойства можно считать еще одним подтверждением того, что творог с фрактальной размерностью, заключенной в интервале 2<D<3, представляет собой нечто среднее между обычной поверхностью и объемной фигурой.

Доказательства. Самым простым оказывается доказательство для случая ограниченного створаживания. Объем m - го предтворога равен L³r^3mN^m=L³(r^3?D)^m, и величина эта стремится к нулю по мере уменьшения внутреннего масштаба ?=r^m. Что касается площади, то случай D<2 устанавливается по верхнему пределу. Площадь предтворога m - го порядка не может превышать суммы площадей соответствующих вихрей, так как упомянутая сумма включает в себя те стороны субвихрей, которые, являясь общими для соседних творогов, нейтрализуют одна другую. Поскольку площадь каждого вихря m - го порядка составляет 6L²r^2m, их общая площадь не может превышать 6L²r^2mN^m=6L(r^2?D)^m. При D<2 верхний предел стремится к нулю по мере того, как m??, что доказывает наше утверждение. В случае D>2 мы можем получить нижний предел, отметив, что объединение вихрей m - го порядка, содержащихся в предтвороге m - го порядка, включает в себя, по крайней мере, один квадрат с длиной стороны r^m и площадью r^2m, каковой квадрат достается нам в наследство от предтворога (m?1) - го порядка и никак не может быть меньше, чем L²r^2mN^m?1=(L²/N)(r^2?D)^m, а эта величина стремится к бесконечности вместе с m. Наконец, при D=2 оба предела оказываются конечными и положительными.