3. ВНУТРЕННЯЯ ПРОБНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Функцию h(?) можно назвать внутренней для множества S и обозначить как h_S(?), если h_S - мера S положительна и конечна. Эту меру можно назвать фрактальной мерой множества S.

Для стандартных фигур евклидовой геометрии внутренняя пробная функция всегда имеет вид h_S(?)=?(D)?^D, где D - некоторое целое число. Хаусдорф показал, что внутренней для канторовых пылей и кривых Коха является функция h_S(?)=?(D)?^D с нецелочисленным значением D.

Типичные случайные фракталы, пусть даже и статистически самоподобные, также обладают внутренней функцией h_S(?), однако она имеет более сложный вид – например, h_S(?)=?^Dln|?|. В этом случае h - мера множества S относительно функции h(?)=?(D)?^D обращается в нуль, т.е. фигура содержит меньше «вещества», чем если бы она была D - мерной, но больше, чем если бы она была D - ?-мерной. В качестве примера можно привести траекторию броуновского движения на плоскости, внутренняя функция для которого, согласно Леви, имеет вид h(?)=?²ln ln(1/?). См. [560].

Поскольку двумерная мера любого ограниченного множества на плоскости конечна, пробные функции вида ?²/ln(1/?) не могут быть внутренними ни для какого плоского множества.

Автором (либо соавтором) многих работ, посвященных определению внутренних функций h_S(?) случайных множеств, является С. Дж. Тейлор; особо рекомендую обратить внимание на статью [484] (написанную им в соавторстве с У. Э. Прюиттом).