ПОЧЕМУ РЕКИ НЕ МОГУТ ТЕЧЬ ПРЯМО?

В главе 12 мы упоминали об эмпирическом открытии Хака, которое заключается в том, что длина типичной реки возрастает пропорционально площади ее бассейна, возведенной в степень D/2. Если бы реки текли прямолинейно по своим круглым бассейнам, то длина потока была бы пропорциональна квадратному корню из площади бассейна, а D равнялось бы единице. В действительности же значение D варьируется от 1,2 до 1,3. В качестве примера в главе 12 приводится описание модели, в основе которой лежит заполняющая плоскость сеть рек, причем реки эти представляет собой фрактальные кривые.

Леопольд и Лангбейн предприняли попытку объяснения эффекта Хака, но избрали для этого совершенно иной, стохастический, путь: в своей работе [298] они сообщают о полученных ими результатах компьютерного моделирования развития конфигураций гидрографической сети в литологически однородных районах. В модели используется оригинальное двумерное случайное блуждание на квадратной решетке, которое наверняка заинтересует любого физика. Предполагается, что расположение истоков и направления распространения выбираются случайным образом. Истоком первого потока является выбранный наугад квадрат, далее СББС генерирует русло на каждый следующий соседний квадрат до тех пор, пока поток не переходит границу области. Затем наугад выбирается второй исток, и аналогичным образом генерируется второй поток, который обрывается либо уходом через границу области, либо слиянием с первым потоком. Часто оказывается так, что второй поток (назовем его «Миссури») проходит до точки слияния больший путь, нежели первый («Миссисипи»). Слияние может произойти и в самой точке истока первого потока. Описанная процедура совершается до тех пор, пока все квадраты не оказываются заполненными. В дополнение к этим общим правилам допускаются различные достаточно произвольные решения с целью избежать петель, касаний и прочих несообразностей.

Согласно результатам моделирования длина реки в этой основанной на случайном блуждании модели пропорциональна площади бассейна в степени 0,64. Следовательно, D~1,28. Расхождение между этим значением и значением Домба D~4,3 можно объяснить статистической вариацией, вызванной недостаточной полнотой моделирования. Однако я склонен считать, что это расхождение отражает истинное положение дел: совокупное воздействие со стороны других потоков в модели Леопольда – Лангбейна, по-видимому, более выражено, чем влияние предыдущих положений СББС на его настоящее, а значит, меньшей размерности D следовало ожидать.

По сравнению с реальными картами реки в модели Леопольда – Лангбейна блуждают в высшей степени беспорядочно. Для устранения этого недостатка было предложено множество альтернативных вариантов. В модели Ховарда [228] постулируется рост «против течения» (согласно разнообразным совершенно искусственным схемам) от устьев, расположенных на границе квадрата, к истокам, помещенным внутри. Эта процедура генерирует заметно более прямые реки, чем те, что мы наблюдали в модели Леопольда – Лангбейна, что, по всей видимости, подразумевает и меньшую размерность D.

До сих пор исследования случайных сетей – таких, как речные системы в моделях Леопольда – Лангбейна и Ховарда – ограничиваются лишь несколькими компьютерными моделями. Это весьма прискорбно, и я, пользуясь случаем, хотел бы привлечь внимание математиков к этим интереснейшим задачам. Тот факт, что СББС, как было неоднократно доказано, чрезвычайно плохо поддается анализу, вероятно, отпугнет тех, кому больше по душе несложные, но высокооплачиваемые задачи; хотя вариант Леопольда – Лангбейна может оказаться не так суров.

Повторюсь: математические сложности, с которыми мы сталкивались при изучении СББС, происходят из того обстоятельства, что локальные изменения могут повлечь за собой глобальные последствия. Аналогичным образом в результате локального изменения в сети Леопольда – Лангбейна главная река может прорваться через границу квадрата и утечь в соседний бассейн. Хорошо было бы научиться хотя бы измерять интенсивность результирующего долгосрочного взаимодействия на макроскопическом уровне. Я, естественно, полагаю, что определяющий эту интенсивность параметр представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.