РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ФРАКТАЛЫ КАК КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
Как мы уже отмечали, термин «кривая» используется в настоящем эссе как эквивалент фразы «связная фигура с топологической размерностью DT=1». Вообще говоря, математик сочтет такую формулировку не совсем удовлетворительной, точные же выражения для этого понятия весьма деликатны. К счастью, для того, чтобы объяснить, почему любая кривая Коха с инициатором [0, 1] заслуживает звания кривой, нам в главе 6 хватало одного простого соображения: как и сам интервал [0, 1], кривая Коха связна, однако становится несвязной при удалении любой принадлежащей ей точки кроме 0 и 1. А граница снежинки похожа в этом отношении на окружность — она связна, но становится несвязной, если удалить любые две ее точки.
Выражаясь более педантично (как нам теперь и подобает), топологическая размерность определяется рекурсивно. Для пустого множества DT=?1. Для любого другого множества S значение DT на единицу больше, чем наименьшая размерность DT разъединяющего множество S «сечения». Размерность конечных и канторовых пылевидных множеств DT=1?1=0, так как для их разъединения требуется удалить пустое множество. Следующие же связные множества становятся несвязными при удалении «сечения» с размерностью DT=0: окружность, интервал [0, 1], граница снежинки Коха, салфетка и ковер Серпинского, губки Менгера. (В трех последних случаях достаточно избежать особых сечений, включающих в себя интервалы.) Следовательно, размерность всех перечисленных множеств DT=1.
Исходя из тех же соображений, фрактальная пена представляет собой поверхность с размерностью DT=2.
Рассмотрим еще один вариант доказательства того, что для салфетки, всех ковров и всех губок с D<2 топологическая размерность DT=1. Поскольку DT есть целое число ?D, из неравенства D<2 следует, что DT должна быть равна либо 0, либо 1. Но рассматриваемые множества являются связными, значит размерность DT не может быть меньше 1. Единственное решение: DT=1.