8. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Эти функции представляет собой случайные функции со стационарными независимыми приращениями, причем величина приращений X(t)?X(0) является устойчивой по Леви случайной величиной. Масштабный коэффициент a(t), благодаря которому величина [X(t)?X(0)]a(t) остается независимой от t, должен иметь вид a(t)=t^?1/D.

Этот процесс является обобщением обыкновенного броуновского движения на случай D?2.

Наиболее поразительное свойство функции X(t) заключается в том, что она разрывна и содержит скачки.

Случай D<1. В этом случае X(t) не содержит ничего, кроме скачков, причем количество скачков, происходящих за интервал от t до t+?t и имеющих абсолютное значение, превышающее u, представляет собой распределенную по закону Пуассона случайную величину с математическим ожиданием |?t|u^?D.

Относительные количества положительных и отрицательных скачков равны, соответственно, ?(1+?) и ?(1??). Крайний асимметричный случай ?=1 допускает только положительные скачки; такая функция называется устойчивым субординатором и служит для определения лестниц Леви, изображенных на рис. 399 и 400.

Парадокс. Поскольку u^?D?? при u?0, общее ожидаемое количество скачков бесконечно, какой бы малой ни была величина ?t. То обстоятельство, что связанная с этим ожиданием вероятность также окажется бесконечной, представляется парадоксальным. Однако парадоксальность исчезает, как только мы обращаем внимание на то, что общее количество скачков, для которых u<1, составляет конечную величину. Этот вывод выглядит вполне естественным, если отметить, что ожидаемая длина малого скачка конечна и пропорциональна

₀?¹Du^?D?1udu=D₀?¹u^?Ddu<?.

Случай 1<D<2. В этом случае вышеприведенный интеграл расходится, т.е. общий вклад малых скачков составляет бесконечную величину. Вследствие этого функция X(t) содержит два члена, непрерывный и скачковый; каждый из членов бесконечен, однако сумма их конечна.