4. ОБОБЩЕННЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Коши рассмотрел обобщенное вспомогательное соотношение

(A:D) s₁^D+s₂^D=s^D.

Симметричные решения. Основываясь на формальных расчетах, Коши утверждает, что система уравнений (L) и (A:D) имеет при любом значении D единственное решение: случайную величину, плотность которой имеет вид

?^?2₀?^?exp(u^?D)cos uxdu.

Пойа и Леви показывают, что при 0<D?2 предположение Коши и в самом деле подтверждается, а гауссово распределение и распределение Коши являются частными случаями этого правила. Однако при D>2 это предположение оказывается несостоятельным, поскольку в этом случае вышеприведенная формальная плотность принимает отрицательные значения, что есть абсурд.

Крайние несимметричные решения. Леви, кроме того, показывает, что система уравнений (L) и (A:D) допускает и несимеетричные решения. В случае наиболее экстремально асимметричных решений порождающая функция (преобразование Лапласа) определена и равна exp(g^D).

Другие несимметричные решения. Общим решением системы уравнений (L) и (A:D) является взвешенная разность двух независимых одинаково распределенных решений с крайней асимметрией. Веса принято обозначать через ?(1+?) и ?(1??).

Окончательное обобщение уравнения (L). При неизменном (A:D) заменим условие (L) условием

(L^*) s₁X₁+s₂X₂=sX+const.

При D?1 такая замена ничего не меняет, однако при D=1 система допускает дополнительные решения, которые называются асимметричными случайными величинами Коши.

Бактерии – мутанты. В статье [377] я показал, что общее количество мутировавших бактерий в старой культуре (задача Луриа – Дельбрюка) представляет собой устойчивую по Леви случайную величину с крайней асимметрией.