АПОЛЛОНИЕВА МОДЕЛЬ СМЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

В этом разделе мы ознакомимся с ролью, которую понятия аполлониевой упаковки и фрактальной размерности играют в описании класса веществ, известных под названием «жидкие кристаллы». В процессе этого ознакомления нам предстоит обратиться к одной из наиболее активных областей современной физики – теории критических точек. Примером критической точки может служить «точка» на диаграмме температура-давление, описывающая физические условия, при которых в пределах одной физической системы могут сосуществовать в равновесии твердая, жидкая и газообразная фазы. Аналитические характеристики физической системы в окрестности критической точки масштабно-инвариантны, следовательно, подчиняются степенным законам с некими конкретными критическими показателями (см. главу 36). Многие из этих показателей оказываются фрактальными размерностями, и вот перед вами первый пример.

Поскольку жидкие кристаллы не так хорошо известны широкой публике, как того хотелось бы, я начну с их описания, для чего обращусь к статье Брэгга [52]. Эти прекрасные и таинственные субстанции подвижны, как жидкости, однако с оптической точки зрения ведут себя подобно кристаллам. Их длинные цепеобразные молекулы имеют довольно сложную структуру. Некоторые жидкокристаллические фазы называются смектическими (от греч. ??????, что означает «мыло»), так как моделируют мылообразные органические системы. Молекулы смектического жидкого кристалла расположены в слое вертикально и параллельно друг другу, как колосья на поле, при этом толщина слоя равна длине молекулы. В результате получаются очень гибкие и прочные слои или листы, которые, будучи деформированными, стремятся вернуть себе прежнюю форму. При низких температурах слои располагаются один на другом, точно листы в книге, образуя при этом твердый кристалл. Однако при повышении температуры становится возможным легко сдвигать слои относительно друг друга. Каждый слой представляет собой двумерную жидкость.

Особый интерес представляют фокальные конические структуры. Жидкокристаллический блок разделяется на два набора пирамид, причем основания половины из них располагаются на одной из двух противоположных граней, а вершины - на другой. Жидкокристаллические слои внутри каждой пирамиды оказываются свернутыми и образуют множество и приблизительно перпендикулярны плоскости основания пирамиды. В результате основанием каждого конуса является диск, ограниченный окружностью. Минимальный радиус ? такой окружности равен толщине слоя жидкого кристалла. Когда конусы заключены внутри пространственной области – в данном случае, пирамиды с квадратным основанием, - диски, образующие основания конусов, распределяются по основанию этой области (пирамиды). Для получения равномерного распределения следует начать с размещения на основании диска наибольшего радиуса. Затем поместим диски наибольшего возможного радиуса в каждый из остающихся углов и так далее. Если бы было возможно продолжать такое размещение до бесконечности, мы получили бы в точности аполлониеву упаковку.

Физические свойства такой модели мыла зависят от общих площади и периметра пустых промежутков, которые связаны с фрактальной размерностью D, своего рода фотографического «негатива», т.е. салфетки, сквозь отверстия которой не проходят молекулы мыла. Физические подробности можно найти в работе [32].

Рис. 253. Самоинверсный фрактал (построение Мандельброта)

Верхняя фигура. В цепях Пуанкаре с M=4 по крайней мере один из дисков ?_ijk (назовем его ?₁₂₃) всегда не ограничен и пересекается с диском ?₃₄₁. (На данном рисунке диск ?₃₄₁ также не ограничен, однако в других случаях это не так.) Объединение дисков ?₁₂₃ и ?₃₄₁ (показанное на рисунке серым цветом) дает первое приближение области, внешней к кривой ?. Оно аналогично приближению области, внешней к кривой Коха K, с помощью правильного выпуклого шестиугольника (см. рис. 71).

Диски ?₂₃₄ и ?₄₁₂ также пересекаются, и их объединение (показанное на рисунке черным цветом) дает первое приближение внутренней области ?. Оно аналогично приближению внутренней области кривой K с помощью двух треугольников, образующих правильную шестиконечную звезду (см. рис. 71).

Средняя фигура. Второе приближение области, внешней к кривой ?, достигается добавлением к дискам ?₁₂₃ и ?₃₄₁ их инверсий относительно окружностей C₄ и C₂, соответственно. Результат (серая область) аналогичен второму приближению области, внешней к кривой K, на рис. 71.

Соответствующее второе приближение внутренней области ? достигается добавлением к дискам ?₂₃₄ и ?₄₁₂ их инверсий относительно окружностей C₁ и C₃, соответственно. Результат (черная область) аналогичен второму приближению внутренней области кривой K на рис. 71.

Нижняя фигура. Внешняя область ? (серый цвет) является объединением кланов ?₁₂₃ и ?₃₄₁. Внутренняя же (черный цвет) – объединением кланов ?₂₃₄ и ?₄₁₂. Тонкая структура внутренней области ? показана на рис. 255 внизу (при построении использованы разные цепи Пуанкаре). Черная и серая открытые области вместе покрывают всю плоскость (за вычетом кривой ?).

Рис. 254. Самографический фрактал (вблизи предела Пеано)

Группы, основанные на инверсиях, интересуют математиков, прежде всего потому, что они связаны с определенными группами гомографией. Гомография (называемая также гомографией Мебиуса или дробно-линейным преобразованием) отображает z- плоскость по закону z?(az+b)/(cz+d), где ad?bc=1. В наиболее общем виде эта гомография может быть представлена как результат инверсии, симметрии относительно линии (что есть вырожденная инверсия) и вращения. Вот почему при отсутствии вращения исследователь гомографией может почерпнуть много интересного из изучения групп, основанных на инверсиях. Очевидно, однако, что введение вращений открывает новые богатые возможности.

На рисунке изображен пример предельного множества ? для группы гомографий. Построил его Дэвид Мамфорд (в ходе исследований, стимулом для которых послужили новые результаты, о которых говорится в данной главе), а затем любезно разрешил опубликовать свое построение в этой книге. Фигура эта почти заполняет плоскость и демонстрирует поразительные аналоги (и равно поразительные различия) с почти заполняющей плоскость кривой, изображенной на рис. 270.

Фрактальная природа предельного множества группы гомографий в широком диапазоне условий была доказана Т. Акадзой, А. Ф. Бирдоном, Р. Боуэном, С. Дж. Паттерсоном и Д. Салливеном. См. [545].

Рис. 255. Знаменитый самоинверсный фрактал, исправленный вариант (построение Мандельброта)

Рисунок вверху слева воспроизводит рис. 156 из книги Фрикке и Клейна [154], который призван изображать самоинверсный (в моей терминологии) фрактал, генератор которого состоит из пяти окружностей, ограничивающих центральную область (она показана черным цветом). Этот рисунок весьма часто появляется в математической литературе.

Действительной формой этого фрактала является контур фигуры, изображенной вверху справа; фигура эта построена с помощью моего метода оскулирующих ?- дисков. Расхождение, конечно, ужасное. Фрикке знал, что кривая ? должна содержать окружности, и велел иллюстратору включить их в рисунок. Обо всем остальном он не знал и, очевидно, даже не подозревал, насколько иррегулярной фигуры ему следует ожидать.

В действительности кривая ? включает в себя границу ?^* фигуры, построенной справа внизу с использованием моего алгоритма. Эта граница ?^* представляет собой самоинверсный фрактал, соответствующий четырем из тех порождающих окружностей, что образуют цепь Пуанкаре. Ясно видно, что преобразования ?^* при иных инверсиях принадлежит ?. Этот рисунок подробно рассмотрен в работе [400].