АНАТОМИЯ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Из главы 7 нам известно, что множество C является очень «разреженным», и все же поведение итераций f(x) приводит к лучшему пониманию тонких различий между его точками.

Вряд ли кто при первом знакомстве с канторовым множеством смог избежать искушения предположить, что оно в конечном итоге сходится к концевым точкам открытых пустых областей. Тем не менее, такое предположение весьма далеко от истины, поскольку множество C содержит, по определению, все пределы последовательностей концевых точек пустот.

Этот факт не считается интуитивно очевидным. Я (равно как и мои соратники и единомышленники) вполне понял бы, если бы наш многострадальный старый знакомец Ганс Хан внес эти предельные точки в свой список концепций, существование которых может оправдать лишь холодная логика. Однако из настоящего обсуждения мы с вами вынесем интуитивное доказательство того, что упомянутые предельные точки обладают сильными и отличными от других индивидуальностями.

Например, точка x=3/4, которую функция f(x) оставляет неизменной, не принадлежит ни какому-либо из интервалов средней трети, ни границе какого-либо из этих интервалов. Итерация точек вида x=(1/4)/3^k сходятся к точке x=3/4. Кроме того, существует бесконечное множество предельных циклов, каждый из которых состоит из конечного числа точек. Множество C содержит также точки, преобразования которых бесконечно перемещаются вокруг него самого.