4. РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если известно, что множество S двумерно, вполне достаточно оценить хаусдорфову h - меру для h(?)=??². Однако определение хаусдорфовой меры сформулировано таким образом, что предварительного знания размерности D не требуется. Имея дело со стандартной фигурой неизвестной размерности, мы будем оценивать ее меру для всех пробных функций h(?)=?(d)?^d, где d - целое число. Если длина фигуры бесконечна, а объем равен нулю, то она может быть только двумерной.

Безикович распространил суть последнего заключения на случаи, в которых показатель d не является целым числом, а множество S - стандартной фигурой. Он показал, что для каждого множества S существует такое вещественное значение D, что d - мера этого множества при d<D бесконечна, а при d>D обращается в нуль.

Эта величина D и называется размерностью Хаусдорфа – Безиковича множества S.

Для физика это означает, что величина D представляет собой критическую размерность.

D - мерная хаусдорфова мера D - мерного множества S может быть либо равна нулю, либо бесконечна, либо положительна и конечна. Хаусдорф ограничился только последним, самым простым, случаем и показал, что в эту категорию входят канторовы множества и кривые Коха. Если множество S ко всему прочему еще и самоподобно, легко заметить, что его размерность подобия должна быть равна D. С другой стороны, мы знаем, что типичные случайные множества имеют в качестве естественной размерности нулевую меру.

Долгое время Безикович являлся автором или соавтором почти всех публикуемых по данной теме работ. Если Хаусдорфа можно назвать отцом нестандартной размерности, то Безикович, несомненно, заслужил себе звание ее матери.

Коразмерность. Когда в роли пространства ? выступает ?^E, D?E, а разность называется коразмерностью.