ДРОБНОЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

После того, как желательная дельта-дисперсия определена, остается реализовать ее на практике. Если мы начинали с броуновского движения, то теперь следует привнести в него персистентность. Стандартным методом для этого является интегрирование, однако оно вносит больше персистентности, чем нам необходимо. К счастью, существует способ получить при интегрировании лишь некоторую часть стандартного эффекта. При 0<H<? то же верно и для дифференцирования. Идея такого способа скрывается в одном из «классических, но не вполне ясных» закоулков математики. Впервые она пришла в голову еще Лейбницу (см. главу 41), а затем была воплощена Риманом, Лиувиллем и Вейлем.

Из школьного курса дифференциального исчисления мы помним, что если m - некоторое целое положительное число, то m - кратным дифференцированием функция x? преобразуется в функцию x??m, а m - кратным интегрированием - в функцию x?+m (не забываем, разумеется, об умножении каждый раз на соответствующую константу). Алгоритм Римана – Лиувилля – Вейля обобщает это преобразование на случай нецелого m, а дробное интегродифференцирование порядка 1/D??, примененное к броуновскому движению, дает ДБД. Таким образом, обычная броуновская формула (смещение)??(время) заменяется ее обобщенным вариантом (смещение)?(время)1/D, где 1/D??. Чего мы, собственно, и добивались.

Соответствующие формулы приведены в [404], а приближения (настоящие) описаны в [408] и [364].

Здесь имеется еще одна сложность – можно сказать, потенциальная ловушка. Алгоритм Римана – Лиувилля – Вейля включает в себя свертку, и, как следствие, может возникнуть искушение реализовать его через метод быстрого преобразования Фурье (БПФ). Поступив таким образом, мы получим периодическую функцию, т.е. функцию с исключенным систематическим трендом. При исследовании стандартных временных рядов исключение тренда не имеет практически никаких последствий, так как зависимость ограничена весьма кратким временным промежутком. В случае же ДБД исключение тренда последствия имеет (тем б?льшие, чем больше |H??|), причем они могут оказаться очень и очень значительными. В развернутом контексте этот эффект можно проиллюстрировать сравнением различных горных пейзажей на рисунках, помещенных после следующей главы. Рис. 370 и 371, полученные с помощью БПФ, не демонстрируют никакого общего тренда и, как следствие, имитируют форму горных вершин, тогда как на рис. 374, полученном без каких бы там ни было упрощений, общий тренд ясно виден.

Поскольку БПФ чрезвычайно экономично, часто бывает удобнее использовать все-таки его, однако период следует брать значительно длиннее, чем ожидаемый размер выборки, а также не забывать учитывать потери, которые возрастают, по мере того как H?1.