H<½: АНТИПЕРСИСТЕНТНЫЕ ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

Дробные броуновские движения с 0<H<? описываются антиперсистентными функциями и следами. Под антиперсистентностью подразумевается стремление постоянно возвращаться к исходной точке, следствием чего является более медленное (чем у броуновских аналогов) рассеяние.

Формула D=1/H справедлива только при условии, что E>1/H. Если же E<1/H (особенно в случае плоскости, E=2), то фрактальная размерность достигает наибольшего возможного значения, D=E. Напомним, что наибольшим возможным значением размерности для броуновского следа является D=2, и этот максимум может быть реализован только в случае E?2. Если втиснуть броуновский след в реальную прямую с размерностью E=1, то ему придется примириться с D=1. При H=? след ДБД едва заполняет обыкновенное З – пространство.

В случае же плоскости (E=2) анализ размерностей показывает, что неограниченный след с H<? почти наверное посещает любую заданную точку бесконечно часто. Таким образом, в противоположность функции B(t), которая не совсем отвечает ожиданиям, связанным с ее размерностью D=2, и заполняет плоскость плотно, но не полностью, броуновский след при любом превышении параметром 1/H значения 2 заполняет плоскость полностью. Для доказательства того, что след B_H(t) почти наверное бесконечно часто возвращается к своей исходной точке, вспомним из главы 25, что размерность множества моментов возвращения равна 1?2H и, как следствие, при H<? положительна. Это же рассуждение справедливо и для точек, отличных от O. Следовательно, пересечение неограниченного дробного броуновского следа при H<? с единичным квадратом имеет единичную же площадь.

Ограниченный след представляет собой сеть с пустотами, однако площадь его положительна (привет из главы 15!).