ЗАВИСИМОСТЬ МЕРЫ ОТ РАДИУСА ПРИ ДРОБНОМ ЗНАЧЕНИИ D

Рассмотрим еще одну стандартную ситуацию евклидовой геометрии и обобщим ее с учетом фрактальных размерностей. В случае идеальных однородных физических объектов плотности ? мы можем считать, что масса M(R) стержня длиной 2R, диска или шара радиуса R пропорциональна ?R^E. При E = 1,2 и 3 коэффициенты пропорциональности соответственно равны 2, 2? и 4?/3.

Правило M(R)?R^D применимо и к фракталам, при условии, что они самоподобны.

В случае троичных кривых Коха это утверждение доказывается проще всего, если начало координат совпадает с концевой точкой полупрямой Коха. Если круг радиуса R₀=3^k (где k?0) содержит массу M(R₀), то круг радиуса R=R₀/3 вместит в себя массу M(R)=M(R₀)/4. Отсюда

M(R)=M(R₀)(R/R₀)^D=[M(R₀)R₀^?D]R^D.

Следовательно, отношение M(R)/R^D не зависит от радиуса R и может послужить для определения плотности ?.