ЭВРИСТИКА ЛИПШИЦА – ГЁЛЬДЕРА

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции X(t), следует соотносить размерность D с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица – Гёльдера (ЛГ) ?. Суть условия ЛГ при t+ состоит в том, что

X(t)?X(t0)~|t?t0|?при 0<t?t0<?;

аналогично оно выглядит и для случая t?. Глобальный ЛГ – показатель в интервале [t',t"] имеет вид . Если функция X(t) не является постоянной, ??1.

ЛГ – эвристика и размерность D. Если известен показатель ?, то количество квадратов со стороной r, необходимых для покрытия графика функции X между моментами времени t и t+r, приблизительно равно r??1. Таким образом, можно покрыть график функции X(t) на участке t?[0,1] с помощью N квадратов и приблизительно оценить размерность функции как D=lnN/ln(1/r). Этот способ оценки D мы будем называть эвристикой Липшица – Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.

Примеры. Если функция X дифференцируема для всех t между 0 и 1, а точки, в которых X'(t)=0, в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале ?=1, и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно N~r??1(1/r)=r?1. Отсюда D=1, что, конечно же, верно.

Если X(t) - броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что ???=H. Эвристическое значение N приблизительно равно rH?1?1, т.е. D=2?H, что опять же согласуется с известной размерностью D.

Харди [194] показывает, что для функций, описанных в разделе функция Вейерштрасса … ??H. Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа – Безиковича равна 2?H.

Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции X являются здесь только те значения t, которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью ?<1, а показатель ? зависит от t . Разделим интервал [0,1] на 1/r временных промежутков длины r. В r?? этих промежутков ?=?, в других промежутках показатель ? не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то ?=1. Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение r?1+r??1r??=2r?1, а для размерности D=1. Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.

Кроме того, для суммы броуновской функции и канторовой лестницы с ?<H получаем D=2?H и ?=?, следовательно, 1<D<2??.

Резюме. Подтверждение эвристически полученного неравенства 1?D?2?? можно найти в работах [317] и [30]. См. также [255], с. 27.

Об определении «фрактала». В разделе фракталы упоминается о желательности расширения рамок определения термина фрактал с тем, чтобы они включали и канторову лестницу. Может быть, нам следует сказать так: кривая фрактальна, если показатель ?<1, а показатель ? близок к ? при «достаточно многих» значениях t? Мне бы не хотелось следовать этим путем, так как подобные расширения довольно громоздки и, кроме того, в них проводится принципиальное различие между случаями DT=0 и DT>0.

Функции из прямой в плоскость. Возьмем две непрерывные функции X(t) и Y(t) с ЛГ – показателями ?1 и ?2. Эвристически рассуждая, можно предположить, что для покрытия графика векторной функции от координат X(t) и Y(t) на участке t?[0,1] потребуется не больше r?1+?2?3 кубов со стороной r; следовательно, 1?D?3?(?1+?2). Размерность обыкновенного броуновского следа из прямой в плоскость D=2 вполне согласуется с этим неравенством.

Проекции. Построим непрерывный след, проецируя функцию {X(t),Y(t)} на плоскость (x,y). При ?1=?2=? эвристика подсказывает, что для покрытия графика нам понадобится не более 1/r квадратов со стороной r?; следовательно, 1?D?min(2,1/?). Рассмотрим аналогичным образом непрерывный след функции {X(t), Y(t), Z(t)}, координаты которой имеют одинаковые ЛГ – показатели ?. Эвристическое рассуждение дает 1?D?min(3,1/?). При ?1??2 непрерывный след функции {X(t),Y(t)} следует покрывать квадратами со стороной rmax?, значит:

1?D?2?max{0, (?1+?2?1)/ max(?1,?2)}.

Все эти выводы нашли подтверждение в [317].