ПОНЯТИЕ О ФРАКТАЛЬНОЙ ОСКУЛЯЦИИ

Мой способ построения множества ? основан на новом для нас понятии фрактальной оскуляции, которое расширяет рамки ее очевидного воплощения в аполлониевом случае.

Стандартная оскуляция. Это понятие непосредственно связано с концепцией кривизны. Первым приближением стандартной кривой в окрестности регулярной точки P является касательная прямая. Вторым приближением является окружность, касательная к которой в этой точке совпадает с упомянутой прямой, а кривизна – с кривизной кривой. Такая окружность называется оскулирующей.

Для различения окружностей, касательных к данной кривой в точке P, очень удобно использовать параметр (обозначим его буквой u), который представляет собой инверсию интервала (произвольно ориентированного), соединяющего точку P с центром окружности. Обозначим индекс оскулирующей окружности через u₀. Если u<u₀, то небольшой участок кривой с центром в точке P целиком лежит с одной стороны касательной окружности, если же u>u₀, то – с другой.

Величина u₀ есть то, что физики называют критическим значением, а математики – разрезом. Кроме того, значение |u₀| определяет локальную «кривизну».

Глобальная фрактальная оскуляция. В случае аполлониевой сети попытка определить оскуляцию через кривизну лишена смысла. Однако в любой точке сети, где касательны две принадлежащие упаковке окружности, они, очевидно, «охватывают» остаток множества ?, заключенный между ними. Возникает искушение назвать их обе окружности оскулирующими.

Для того чтобы распространить это понятие на неаполлониевы множества ?, выберем точку, в которой ? имеет касательную, и возьмем в качестве отправной точки определение обыкновенной оскуляции, основанное на понятии критичности (или разреза). Новизна же заключается в том, что при ??<u<+? мы заменим одно критическое значение u₀ двумя различными значениями, u' и u''>u', которые определим следующим образом: при любом u<u' множество ? целиком лежит с одной стороны нашей окружности, при любом u>u'' - с другой, а при u'<u<u'' части ? находятся и с той, и с другой стороны окружности. Что же касается окружностей с индексами, равными u' и u'', я предлагаю их обе считать фрактально оскулирующими.

Любая окружность ограничивает два открытых диска (один из них содержит центр этой окружности, другой – точку в бесконечности). Открытые диски, ограниченные оскулирующими окружностями и не принадлежащие множеству ?, мы будем называть оскулирующими дисками.

Случается и так, что одна или обе оскулирующие окружности вырождаются в точку.

Локальное и глобальное. Возвращаясь к стандартной оскуляции, заметим, что эта концепция является локальной, так как ее определение никак не зависит от формы кривой на каком-либо удалении от точки P. Иными словами, кривая, касательная к ней и оскулирующая окружность могут иметь сколько угодно точек пересечения кроме P. Напротив, приведенное выше определение фрактальной оскуляции глобально, хотя это различие и не принципиально. Фрактальную оскуляцию можно определить и локально, причем с соответствующим расщеплением «кривизны» на два числа. Как бы то ни было, в нашей теперешней задаче глобальная и локальная оскуляции совпадают.

Оскулирующие треугольники. С аналогом глобальной фрактальной оскуляции мы, если помните, уже встречались. Для того чтобы определить внутреннюю область нашей старой знакомой снежинки Коха (кривой K) как ?- треугольник, достаточно увеличивать треугольники, выкладываемые на каждом следующем этапе построения фигуры, изображенной на рис. 70, настолько, насколько это возможно без пересечения их со снежинкой.