КАНТОРОВЫ ПЫЛЕВИДНЫЕ МНОЖЕСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МЕРЫ

В качестве предварительного шага освежим в памяти построение Кантором троичного множества C. Его нулевая длина (а если быть точным до конца, то нулевая линейная мера) следует из того факта, что длины трем (средних третей) составляют в сумме

1/3+2/3²+...+2^k/3^k+1+...=1.

Однако то, что множество C является абсолютно несвязным (и, следовательно, его топологическая размерность D_T=0), не зависит от длин трем. Это свойство основано на том фундаментальном факте, что на каждом этапе построения каждый полученный на предыдущем этапе интервал рассекается удалением тремы, центр которой приходится на середину этого интервала. Обозначим отношение длин тремы и ее «несущего» интервала через ?_k, тогда выражение для совокупной длины интервалов, оставшихся после K этапов построения, принимает вид ?₀^K(1??_k). Эта длина уменьшается при K?? до некоторого предела, который обозначим через P. В оригинальной конструкции Кантора ?_k?2/3, следовательно, P=0. Однако P>0 всегда, когда ?₀^??_k<?. В этом случае остаточное множество C_* имеет положительную длину 1?P. Это множество не самоподобно, следовательно, не характеризуется размерностью подобия, однако, исходя из определения Хаусдорфа – Безиковича (см. главу 5), мы можем заключить, что размерность D такого множества равна 1. Из неравенства D>D_T следует, что множество C_* фрактально. Так как ни D, ни D_T не зависят от длин трем ?_k, значения этих размерностей дают весьма поверхностную характеристику множества C_*.

Еще более явным выглядит построение на плоскости. Вырежем из единичного квадрата крест площади ?₁, оставив четыре малых квадрата по углам. Затем вырежем из каждого малого квадрата крест относительной площади ?₂. Этот каскад порождает пыль, топологическая размерность D_T которой равна 0, а площадь выражается произведением ?₀^?(1??_k). Если площадь не обращается в нуль, D=2.

Аналогичным образом можно получить в E? мерном пространстве пыль положительного объема с размерностями D_T=0 и D=E.