УПРАВЛЕНИЕ ЛАКУНАРНОСТЬЮ С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕНЕНИЯ РАЗМЕРОВ ТРЕМ В ОБОБЩЕННЫХ ТРЕМА – ФРАКТАЛАХ

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

В одном из разделов главы 34 показано, как можно управлять лакунарностью в случае стратифицированных длин трем. А сейчас давайте занесем на скрижали (без особых, правда, подробностей) следующее замечание: той же цели можно достичь и посредством изменения трема – генератора. Мы воспользуемся той мерой лакунарности (из упомянутых в главе 34), которая определяется через величину внешнего порога ?.

Вообще-то мы предпримем предварительно еще один шаг и введем двойной порог, ограничив линейный масштаб трем следующими величинами:?>0 и ?<?.

Нетрудно убедиться в том, что случайным образом выбранная точка по-прежнему принадлежит с вероятностью (?/?)E?D получающемуся в результате усеченному трема – фракталу. Затем распределим по нашему множеству некоторую массу с плотностью ?D?E. Префактор ?=??D?E из главы 34 окажется при этом равным ?D?E. Если переход к ??0 выполнить должным образом, то выражение остается справедливым и для ?=0. Следовательно, ?=??1/(E?D).

(При альтернативном определении порога ? его величина выражается следующим образом: ?=??1/(E?D)(D/E)1/(E?D).)

Остается вычислить величину ?. Как выясняется, она зависит от общей формы трема – генератора и достигает наибольших значений, когда генератор представляет собой интервал (диск, шар). Она может быть и произвольно малой; соответственно малым оказывается при этом и внешний порог ?.

Если трема заключена между двумя концентрическими сферами с радиусами ??1и ??1, то результат получается очень простой: ??1/?.

Таким образом, вполне возможно добиться того, что <M(R)>, а следовательно, и ковариантность распределения масс произвольно быстро перейдет к такому поведению, какое наблюдается в асимптотической области, т.е. плотности в двух точках, расстояние между которыми превышает ?, станут эффективно независимы одна от другой.

Странно, что уменьшение лакунарности (через уменьшение параметра ?) достигается посредством растягивания генератора. Скорее, следовало бы ожидать, что все более растягивающий генератор приведет к увеличению размеров предасимптотической области. Этот факт еще раз подчеркивает, что поведение величины <M(R)> (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты M(R) (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты M(R), однако рассматривать их здесь мы уже не будем.