РИС. 109 И 110. ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПЛОСКОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫЕ ДЕРЕВЬЯ, ПЕРЕКОШЕННАЯ СНЕЖИНКА И КВАРТЕТ

Заполняющие плоскость «речные» деревья, получаемые из некоторых кривых Пеано, могут быть получены и с помощью прямого рекурсивного построения. Ключом здесь служит генератор, который сам имеет древовидную форму. Простейший и скучнейший пример: генератор составлен из четырех отрезков, образующих фигуру, похожую на знак «+». В результате построения получим речное дерево кривой Пеано- Чезаро (см. рис. 99).

Перекошенная снежинка. Более интересного результата можно достичь, взяв в качестве инициатора отрезок [0, 1], а в качестве генератора — следующую фигуру:

Для начала обратим внимание на то, что отдельные реки порождаются генератором, который смещает среднюю точку отрезка (таким, например, как на рис. 71). Следовательно, всякая асимптотическая река имеет размерность D=ln2/ln?3=ln4/ln3. Это значение хорошо знакомо нам еще по снежинке Коха, однако кривая, которой мы намерены заняться теперь, — не снежинка, поскольку размещение генератора на прямолинейных отрезках следует иному правилу.

Если мы хотим, чтобы осталось место для рек, необходимо, чтобы положение генератора с каждым отрезком менялось с правого на левое и наоборот. Таким образом симметрия снежинки искажается, а новая область для заполнения реками заслуживает себе имя — перекошенная снежинка.

Вернемся к дереву рек. Его терагоны не перекрывают сами себя, но самокасаний здесь очень много. Неизбежен — и даже напрашивается — асимптотический вариант этой особенности, поскольку он вполне верно отражает тот факт, что иногда несколько рек начинаются в одной точке. Как мы увидим чуть позже, речные терагоны могут и вовсе обходиться без самокасаний. Рассматриваемый же речной терагон — как раз благодаря самокасаниям — представляет собой ({- неразборчиво заштрихованный обрывок гексагональной диаграммной бумаги в форме близкой фрактальной кривой.

Рис. 110, вверху. Речное дерево станет более явным, если стереть все участки реки, соприкасающиеся с истоком, и изобразить главную реку более жирной линией. Площадь бассейна такой реки составляет ?3/2~0,8660.

Прохождение перекошенной снежинки. Построим кривую Пеано, инициатор которой имеет форму равностороннего треугольника, а генератор представляет собой ломаную линию, звенья которой равны и расположены под углом в 60° друг к другу. Это — крайний случай при M=3 из семейства генераторов, использованных при построении кривых на рис. 75 и 76, причем он значительно отличается от остальных случаев этого семейства. Подробнее см. в [95].

Можно легко убедиться, что дерево рек этой кривой Пеано совпадает с деревом, которое мы только что получили с помощью прямого построения. Длина стороны инициатора равна 1, а площадь, заполняемая соответствующей кривой Пеано, составляет ?3/6~0,2886 (очень неэффективно!).

Квартет. Теперь рассмотрим другую кривую Коха вместе с тремя кривыми, заполняющими ее: одной кривой Пеано и двумя деревьями. Эти придуманные мною фигуры иллюстрируют еще одну весьма интересную тему.

Инициатором снова будет отрезок [0, 1], а генератор выглядит следующим образом:

Граница заполняемой области стремится в пределе к кривой Коха с размерностью D=ln3/ln?5=1,3652. Продвинутые терагоны границы и кривой Пеано составляют центр рис. 79; я назвал эту фигуру квартетом. Каждый «игрок», равно как и стол между ними, способен к самоподобному разбиению плоскости.

Внутренняя область квартета заполняется, конечно же, и его собственным деревом рек. Однако если воспользоваться каким-либо из следующих генераторов, можно получить совершенно другие варианты заполнения:

Терагоны, построенные с использованием левого генератора, демонстрируют самокасания (как и кривые в первом примере данного пояснения). Заполняемая площадь составляет 1/2. Правый генератор позволяет терагонам избежать самокасаний, и заполняемая площадь увеличивается до 1. На рис. 110 (внизу) показан один из продвинутых терагонов такой кривой.