5. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Для определения этой функции (обозначим ее B_H(t)) возьмем обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую и изменим значение показателя H с ? на любое вещественное число, удовлетворяющее неравенству 0<H<1. Функции с H?? оказываются вполне дробными.

Все функции B_H(t) непрерывны и недифференцируемы. Самое раннее упоминание о них я нашел в статье Колмогорова [275] 1940 г. Ссылки на другие разрозненные источники, а также описание различных свойств этих функций собраны в [404]. См. также [292].

Корреляция и спектр. Очевидно, что<[B_H(t+?t)?B_H(t)]²>=|?t|^2H. Спектральная плотность функции B_H(t) пропорциональна f^?2H?1. Показатель не является целым числом – в этом и заключается одна из нескольких причин, побудивших меня предложить для обозначения функций B_H(t) термин дробные.

Дискретный дробный гауссов шум. Этот шум определяется как последовательность приращений функции B_H(t) на последовательных единичных временных интервалах. Его корреляция равна

2^?1[|d+1|^2H?2|d|^2H+|d?1|^2H].

Долгосрочная корреляция. Персистентность и антиперсистентность. Положим B_H(0)=0 и определим предыдущее приращение как ?B_H(?t), а последующее приращение как B_H(t). Имеем

<?B_H(?t)B_H(t)>=2^?1{<[B_H(t)?B_H(?t)]²>}?2<[B_H(t)]²>

=2^?1(2t)^2H?t^2H.

Разделив результат на <B_H(t)²>=t^2H, получим корреляцию, которая оказывается независимой от t: она равна 2^2H?1?1. В классическом случае H=? корреляция, как и ожидалось, обращается в нуль. При H>? корреляция положительна, выражает персистентность и при H=1 возрастает до единицы. При H<? корреляция отрицательна, выражает антиперсистентность и при H=0 уменьшается до ??.

То, что эта корреляция не зависит от t и в тех случаях, когда она не обращается в нуль, является очевидным следствием самоаффинности функции B_H(t).

Однако при изучении случайности многие начинают с того, что очень удивляются и / или / даже расстраиваются, впервые столкнувшись с тем фактом, что корреляции прошедших и будущих событий могут быть независимы от времени, не обращаясь при этом в нуль.

Практическое следствие для моделирования. При генерации случайной функции для всех целочисленных значений времени в интервале от t=0 до t=T выбор алгоритма, как правило, не зависит от значения T; алгоритм выбирают заранее, а затем выполняют его требуемое количество раз. Алгоритмы, необходимые для генерации дробных броуновских функций, имеют существенное отличие: они неизбежно зависят от T.

Описание быстрого генератора дискретных приращений функции B_H(t) есть в моей статье [364]. (В эту статью вкралась одна весьма досадная опечатка: в первой дроби на с. 545 следует убрать из числителя единицу и поместить ее перед всей дробью.)

Фрактальные размерности. Для графика D=2?H. Для нуль – множества и других множеств уровня D=1?H. См. [3].