ТИПИЧЕСКИЕ РАЗМЕРНОСТИ D И DT СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ

Понятие размерности случайного множества несколько отличается от того, к какому мы привыкли. В нашем «большом портфеле», объединяющем некоторую совокупность случайных множеств, каждая страница соответствует какому-либо множеству и, следовательно, имеет собственные значения D и D_T, закрепленные именно за данным множеством. Эти значения меняются от одного образца (или страницы) к другому, но во всех рассматриваемых нами случаях их распределение остается простым.

Существует некоторое количество образцов с отклонениями («дефектных семян»), размерность D которых может принимать какие угодно значения, однако совокупная вероятность их проявления стремится к нулю. Все остальные множества характеризуются некоторым общим значением D, называемым «почти истинным значением».

Я полагаю, что вышесказанное верно и для D_T, и надеясь, что эта тема привлечет внимание математиков.

Почти истинные значения являются во всех отношениях «типичными» для данной совокупности множеств. Например, ожидаемое значение D оказывается равным почти истинному.

С другой стороны, следует даже в мыслях избегать отождествления этого значения с размерностью некоего «среднего» для данной совокупности множества. Давайте, к примеру, представим себе картину симметричного случайного блуждания и попробуем определить среднее блуждание. Если оно представляет собой процесс, при котором каждое последующее положение является средним от соответствующих положений всей совокупности блужданий, то такое среднее блуждание «нигде не блуждает»: точке так и не удается покинуть свое исходное положение. Следовательно, D=0, тогда, как нам известно (см. главу 25), что почти для всех случайных блужданий D=2. Единственным средним множеством, которое мы можем признать «безопасным» в смысле размерности, является множество, характеризуемое средним для всей совокупности значением D; безопасность этого определения - в его цикличности.

Для оценки размерности D случайного фрактала сгодится любой метод, применяемый к неслучайным фракталам. Следует, однако, помнить о предупреждении, сделанном в главе 13: если часть фрактального множества, заключенная внутри шара радиуса R с центром внутри множества, стремится обладать мерой («массой»), удовлетворяющей соотношению M(R)?R^Q, то Q не обязательно является размерностью.