РАЗМЕРНОСТЬ

Евклид (ок. 300 г. до н. э.). Понятие размерности лежит в основе определений, которые открывают первую книгу «Начал» Евклида, посвященную геометрии плоскости:

1. Точка есть фигура, не имеющая частей.

2. Линия есть фигура, обладающая длиной, но не обладающая шириной.

3. Оконечностями линии являются точки.

4. Поверхность есть фигура, обладающая только длиной и шириной.

5. Оконечностями поверхности являются линии.

Развитие темы находим в определениях, с которых начинается короткая девятая книга, посвященная геометрии пространства:

1. Тело есть фигура, обладающая длиной, шириной и глубиной.

2. Оконечностями тела являются поверхности.

(На эту тему у Хита [208] имеются подробные комментарии.)

Происхождение перечисленных идей покрыто мраком неизвестности. Гатри (см. [185], т. 1) усматривает следы понятия размерности еще у Пифагора (582 – 507 г. до н. э.), Ван – дер – Варден же полагает, что эти следы не следует принимать в расчет. С другой стороны, Платон (427 – 347 г. до н. э.) в седьмой книге своего «Государства» комментирует Сократа следующим образом: «после плоских поверхностей … правильным будет добавить к двум измерениям третье … то есть измерение, присущее кубам и прочим телам, обладающим глубиной». Было бы весьма полезно разузнать больше о других доевклидовых исследованиях, связанных с понятием размерности.

Риман. Отсутствие каких бы то ни было исследований концепции размерности было отмечено Риманом в его диссертации «О гипотезах, сформировавших фундамент геометрии» (1854).

Эрмит. Репутация Шарля Эрмита как архиконсерватора от математики (см. его письмо Стилтьесу в главе 6) подтверждается также его письмами, адресованными Миттаг – Леффлеру (см. [119]).

13 апреля 1883 г.: «Читать писания Кантора – сущая пытка … и ни у кого из нас не возникает искушения подражать ему … . Соответствие между прямой и плоскостью абсолютно нас не трогает, и мы полагаем, что это наблюдение (по крайней мере, до тех пор, пока никто не сделал из него никаких выводов) протекает из рассмотрения материй настолько произвольных, что автору было бы лучше воздержаться от его обнародования …. Однако Кантор вполне может найти читателей, которые станут изучать его работы с интересом и удовольствием, чего о нас сказать, увы, нельзя».

5 мая 1883 года: «Перевод статьи Кантора был отредактирован Пуанкаре со всей тщательностью …. Он полагает, что почти всем читателям – французам будут чужды изыскания Кантора, сочетающие в себе философию с математикой и носящие чрезмерно произвольный характер. Я думаю, что Пуанкаре прав».

Пуанкаре. Красноречивое и в коечном счете чрезвычайно плодотворное развитие идей Евклида было представлено Пуанкаре в 1903 г. (см. [478], глава III, раздел 3) и в 1912 г. (см. [479], часть 9). Позволю себе процитировать кое-что в моем вольном переводе.

«Что мы имеем в виду, говоря, что размерность пространства равна трем? Если для разделения континуума C достаточно рассмотреть в качестве сечений определенное количество различных элементов, мы говорим, что размерность такого континуума равна единице …. Если же … для разделения континуума достаточно взять сечения, образующие один или несколько континуумов с размерностью, равной единице, мы говорим, что размерность континуума C равна трем; и так далее.

Для обоснования этого определения необходимо выяснить, как именно геометры вводят в начале своих работ понятие размерности. Итак, что же мы видим? Как правило, они начинают с определения поверхностей как границ тел либо участков пространства, кривых – как границ поверхностей, точек – как границ кривых, причем утверждают, что далее эту процедуру продолжить невозможно.

Это в точности совпадает с определением, приведенным выше: для разделения пространства необходимы сечения, называемые поверхностями; для разделения поверхностей – сечения, называемые кривыми; точку же разделить нельзя, так как она не является континуумом. Поскольку кривые разделяются сечениями, которые не являются континуумами, размерность кривых равна единице; поскольку поверхности разделяются непрерывными сечениями с размерностью, равной единице, размерность поверхностей равна двум; и, наконец, пространство можно разделить непрерывными сечениями, обладающими двумя измерениями, следовательно, пространство является континуумом с размерностью, равной трем».

Вышеприведенные рассуждения неприменимы к фрактальной размерности. Для внутренних областей всевозможных островов, упоминаемых в нашем эссе, размерности D и D_T совпадают, и обе равны двум, однако береговые линии ведут себя совершенно иначе: их топологическая размерность равна единице, а фрактальная – превышает единицу.

От Брауэра до Менгера. А сейчас заглянем в «Теорию размерности» Гуревича и Уоллмена [231]: «В 1913 г. Брауэр построил на интуитивном фундаменте, предложенном Пуанкаре, точное и топологически инвариантное определение размерности, которое для очень широкого класса пространств эквивалентно тому, что мы используем сегодня. Статью Брауэра в течение многих лет никто не замечал. Затем, в 1922 г., независимо от Брауэра и друг от друга концепцию Брауэра воспроизвели Менгер и Урысон, причем с важными уточнениями.

До тех пор смысл термина размерность математики представляли себе довольно расплывчато. Конфигурация считалась E - мерной, если наименьшее количество вещественных параметров, необходимых для описания (неким неопределенным образом) ее точек, равнялось E . Опасность и несостоятельность такого подхода стали очевидными благодаря двум выдающимся открытиям конца XIX в.: канторово однозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости и непрерывное отображение интервала на всю площадь квадрата, продемонстрированное Пеано. Первое подорвало всеобщую уверенность в том, что плоскость богаче точками, нежели прямая, и показало, что размерность можно изменять однозначным преобразованием. Второе опровергло убеждение, что размерность можно определить как наименьшее число непрерывных вещественных параметров, требуемых для описания пространства, и показало, что с помощью однозначного непрерывного преобразования размерность можно увеличить.

Остался, однако, открытым один чрезвычайно важный вопрос: возможно ли установить соответствие между евклидовыми пространствами с размерностями E и E₀, которое сочетало бы в себе признаки построений Кантора и Пеано, т.е. соответствие, которое было бы одновременно однозначным и непрерывным? Вопрос этот можно с полным правом считать ключевым, так как существование указанного преобразования евклидова - пространства в евклидово же -пространство означало бы, что размерность (в ее естественном понимании, заключающемся в том, что размерность E-пространства равна E) не имеет абсолютно никакого топологического смысла! Как следствие, класс топологических преобразований оказался бы в этом случае чрезмерно широким для того, чтобы остаться хоть сколько-нибудь полезным для практического геометрического применения.

Первое доказательство того, что евклидово -пространство и евклидово E₀-пространство являются гомеоморфными только в том случае, когда E=E₀, было дано Брауэром в 1911 г. (см. [57], т.2, с. 430 – 434; особый случай E₀?3 и E>E₀ был рассмотрен в 1906 году Й. Люротом). Однако в этом доказательстве не указывалось в явном виде какое-либо простое топологическое свойство евклидова -пространства, которое отличало бы его от евклидова -пространства и обусловливало бы невозможность гомеоморфизма этих пространств. Более сильный в этом смысле оказалась процедура, предложенная Брауэром в 1913 г., когда он ввел целочисленную функцию пространства, топологически инвариантного по самому своему определению. В евклидовом пространстве эта функция всегда принимает значение E (оправдывая тем самым свое название).

Тем временем Лебег подошел к доказательству того, что размерность евклидова пространства топологически инвариантна, с другой стороны. В 1911 г. (см. [295], т.4, с. 169 – 210) он отметил, что квадрат можно покрыть произвольно малыми "плитками" таким образом, что ни одна точка квадрата не будет содержаться в более чем трех таких плитках; однако если плитки достаточно малы, то, по меньшей мере, каждые три из них имеют общую точку. Аналогичным образом может быть разбит на произвольно малые кирпичики куб в евклидовом -пространстве так, что общую точку будут иметь не более чем E+1 таких кирпичиков.

Лебег предположил, что это наименьшее число не может быть меньше E+1, т.е. при любом разбиении на достаточно малые элементы должна существовать точка, общая для, по меньшей мере, E+1 этих элементов. (Теорема доказана Брауэром в 1913 г.) Теорема Лебега указывает и на топологическое свойство, отличающее евклидово E- пространство от евклидова E₀- пространства, и тем самым также предполагает топологическую инвариантность размерностей евклидовых пространств».

Об относительных вкладах в развитие теории размерности Пуанкаре, Брауэра, Лебега, Урысона и Менгера можно прочесть в заметках Х. Фрейденталя в [57] (т. 2, глава 6) и Менгера (см. [428], глава 21).

Фрактальная размерность и Дельбёф. Эта история гораздо более проста: фрактальная размерность появилась, практически, во всеоружии из трудов Хаусдорфа. Однако без налета таинственности не обошлось и здесь. В самом деле, у Рассела, например, нет ни единого слова о бурях, что бушевали тогда вокруг Кантора и Пеано, но зато есть любопытное примечание ([506], с. 162): «Дельбёф, правда, говорит о геометриях с размерностями вида m/n, но не указывает при этом никаких источников (Rev. Phil. T. xxxxvi, с. 450)». Дельбёф, стало быть, заслуживает нашего особого внимания (см. также раздел масштабная инвариантность по лейбницу и лапласу), однако и после самых тщательных поисков (в которых мне помогал Ф. Фербрюгген) я не смог обнаружить в работах Дельбёфа больше никаких намеков на фрактальную размерность.

Булиган. Определение размерности Кантора – Минковского – Булигана (см. главы 5 и 39) гораздо менее удовлетворительно, нежели определение Хаусдорфа – Безиковича, но мне все же хотелось бы сказать здесь несколько слов в защиту Жоржа Булигана (1889 – 1979). Его многочисленные труды сейчас мало кто читает, даже в Париже, однако в те времена, когда я был студентом и сдавал ему экзамены, они пользовались большой известностью. Его книги всегда напоминают мне о том, кто именно ввел меня в мир «современной» математики, и я часто задаюсь вопросом, смогли бы другие – не столь мягкие и человечные, но, возможно, более правильные в педагогическом смысле – способы представления материала дать такое же интуитивное понимание предмета, которое в случае необходимости всегда под рукой и никогда меня не подводило. Наверное, нет. Доживи Булиган до сегодняшнего дня и окажись свидетелем великих побед геометрии, которую столь беззаветно любил, он, я уверен, остался бы доволен увиденным.