6. НЕРАВЕНСТВО СЛАГАЕМЫХ И ПРОИСТЕКАЮЩАЯ ИЗ НЕГО КЛАСТЕРИЗАЦИЯ

Пусть X₁ и X₂ независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности p(u). Плотность вероятности величины X=X₁+X₂ имеет вид

p₂(u)=_???^?p(y)p(u?y)dy.

Если известно значение суммы u, то плотность условного распределения каждого из слагаемых y равна p(y)p(u?y)/p₂(y). Рассмотрим подробно форму этой плотности

Примеры. Когда плотность p(u) является гауссовой плотностью с единичной дисперсией, т.е. унимодальной функцией (или функцией с одним максимумом), условное распределение также является гауссовым с центром в точке ?u, а его дисперсия равна ?, т.е. не зависит от u (см. раздел броуновские фрактальные множества, 3). При u?? относительные значения слагаемых почти равны.

Когда плотность p(u) представляет собой приведенную плотность Коши, т.е. снова унимодальную функцию, следует различать два очень непохожих случая. При |u|?2, что составляет половину всех значений u, условное распределение также унимодально, а наиболее вероятным значением снова является ?u. В противоположном случае (при |u|>2) значение ?u становится наименее вероятным (локально). При |u|=2 условное распределение разветвляется на две отдельные «огивы», центры которых расположены в окрестности точек y=0 и y=u. По мере того, как u?±?, становится все труднее отличить эти огивы от огив Коши с центрами в точках 0 и u.

Когда плотность p(u) представляет собой плотность возвращений броуновской функции, ситуация напоминает случай Коши, только еще более крайний, причем плотность условного распределения является бимодальной с вероятностью >?.

Вывод: рассмотрим три последовательных возвращения в нуль некоторого случайного блуждания: T_k?1, T_k и T_k+1. Если значение разности T_k?1?T_k+1 велико, то точка среднего возвращения с наибольшей вероятностью располагается чрезвычайно близко либо к точке T_k?1, либо к T_k+1, вероятность же того, что она окажется где-нибудь посередине между крайними возвращениями, можно полагать наименьшей. Этот результат сродни одному знаменитому «противоестественному» правилу из теории вероятности: закону арксинуса Леви.

Рассмотрим теперь условное распределение величины U, если известно, что сумма M величин U_g принимает очень большое значение u . В случае гауссова распределения результат, скорее всего, окажется таким: каждое слагаемое U_g будет приблизительно равно u/M. В случае же Коши (равно как и в случае броуновских возвращений) следует ожидать прямо противоположного результата: все слагаемые, кроме одного, будут очень малы.

Несоответствие, заключенное в идее «одинаковых» вкладов в сумму. Из того, что слагаемые a priori одинаковы (т.е. имеют одинаковое распределение), следует, что их значения могут a posteriori оказаться либо почти равными (как в случае гауссова распределения), либо в различной степени неравными (как в случае устойчивого по Леви распределения при очень большом значении суммы).