2. РАЗМЕРНОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛЫ: ЭВРИСТИКА

Как уже упоминалось в главе 9, Бентли и Ньютону было известно о том, что в теории гравитационного потенциала имеет место эффект, аналогичный кеплерову эффекту пылающего неба («парадоксу Ольберса»). Предположим, что E=3, что масса M(R), заключенная внутри сферы радиуса R с центром в точке ?, пропорциональна R_D, где D=3, и что ядро потенциала является ньютоновским и имеет вид R^?F, где F=1 . Масса, заключенная внутри оболочки толщины dR и радиуса R, пропорциональна R^D?1; следовательно, полный потенциал в точке ?, определяемый как ??R^?FR^D?1dR=?RdR, расходится в бесконечности. Расхождения в бесконечности не будет, если D=3, а F>3, т.е. если потенциал не является ньютоновским. Тот же результат мы получим и в модели Фурнье – Шарлье с F=1 и D<1.

Для общего интеграла ?R^D?1?FdR условие сходимости в бесконечности очевидно: D<F. Таким образом, устанавливается однозначная связь между D и F; значению F=1, в частности, соответствует D=1.