ПЛОСКИЙ БРОУНОВСКИЙ СЛЕД, ПОСТРОЕННЫЙ КАК СЛУЧАЙНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО (N=2)

Изучение броуновских следов проливает свет на природу кривых Пеано – и это при том, что броуновский след, как выяснилось, представляет собой не что иное, как рандомизированный вариант кривой Пеано. Я провел небольшой опрос среди случайно выбранной группы ученых, и ни один из них не признал идентичности этих двух построений; не упоминается об этом и в случайным образом отобранной мною (и тщательно просмотренной) пачке книг, посвященных данному предмету. Математики любыми способами избегают такого подхода, поскольку основная его составляющая (иерархия слоев с возрастающей детализацией, регулируемая двоичной временн?й решеткой) никак не связана с результатом построения. Это обстоятельство, по мнению математиков, придает данному подходу искусственный и надуманный характер – однако именно благодаря этому обстоятельству он замечательно вписывается в настоящее эссе.

Процесс можно начинать с любой кривой Пеано с N=2 и r=?2. Хитрость заключается в последовательном снятии различных ограничений при продвижении по этапам.

Промежуточные фракталы – «пеано – броуновские гибриды» - заслуживают отдельного подробного изучения в более подходящей обстановке.

Трансверсальное срединное смещение. В конструкциях, изображенных на рис. 98 – 102, на (k+1)-м этапе построения k-й терагон трансформируется путем трансверсального срединного смещения каждого прямолинейного интервала на величину ?M=?2^?k?1 влево или вправо, в зависимости от четности числа k.

Обозначим смещения кривой Пеано за промежуток времени ?t=t^?k и за два половинных промежутка ?₁t и ?₂t через, соответственно, ?P, ?₁P и ?₂P. Теперь теорему Пифагора можно записать так:

|?P|²=|?₁P|²+|?₂P|².

Направления изотропных смещений. В качестве нашего первого отступления от правил построения любой кривой Пеано попробуем рандомизировать направления смещения. Один подход предполагает равную вероятность смещений вправо и влево, давая в результате этакую «случайную прыг – скок – кривую». Другой подход состоит в случайном (однородной плотности) выборе точки на окружности, размеченной в градусах, и использовании полученной таким образом угловой величины. Смещения, определяемые такой процедурой, называются изотропными.

Теорема Пифагора применима к любому из упомянутых способов рандомизации: приращения изотропного движения на двоичных подынтервалах двоичного же интервала геометрически ортогональны.

Длины случайных смещений. Второе отступление от правил неслучайного построения: рандомизации подвергается и длина смещения. Начиная с настоящего момента, под величиной 2^?k?1 следует понимать уже не квадрат неслучайного |?M|, а среднеквадратическое значение случайного |?M|. В результате величины смещения ?P^* удовлетворяют следующим выражениям:

<|?₁P^*|²>=<|?₂P^*|²>=?<|?P^*|²>+<|?M|²>;

<|?₁P^*|²>+<|?₂P^*|²>=?<|?P^*|²>+2^?k.

Случайный инициатор. Следующим шагом будет использование в построении случайного инициатора, среднеквадратическая длина которого равна 1. Отсюда неизбежно следует, что <|?P^*|²>=2^?k?1, и мы получаем пифагорову теорему для средних:

<|?₁P^*|²>+<|?₂P^*|²>?<|?P^*|²>=0.

Иными словами, геометрически ортогональные отрезки заменяются отрезками, которые в теории вероятности называются статистически ортогональными или некоррелированными.

Независимые приращения. Срединные смещения можно теперь считать статистически независимыми, как внутри каждого отдельного этапа, так и между этапами.

Гауссовы приращения. Рандомизированная кривая Пеано становится броуновским следом B(t) тогда, когда срединные смещения следуют изотропному гауссову распределению. В плоскости квадрат модуля этой переменной распределяется экспоненциально. Следовательно, при прямом построении нам следует случайным образом выбрать на однородном интервале [0,1] точку U и определить модуль как |?M|=[?2lnU]^?.

Обобщение на пространство. Окончательное построение имеет смысл и при E>2.

Размерность D=2. Теорема Пифагора для средних представляет собой обобщенное определение размерности подобия. Она применима и к броуновскому следу, поскольку размерность Хаусдорфа – Безиковича в этом случае также равна 2. В применимости же ее к случаю негауссова распределения величины смещения средней точки еще предстоит разобраться.