СТЕПЕНЬ ВЕТВЛЕНИЯ КРИВОЙ

Топологическая размерность и соответствующие понятия пыли, кривой и поверхности дают нам лишь классификацию первого уровня.

В самом деле, два конечных множества, содержащих соответственно M' и M'' точек, имеют одинаковую размерность D_T=0, но различаются топологически. А канторова пыль отлична от любой конечной пыли.

Рассмотрим, как можно применить к кривым параллельное различие, основанное на количестве содержащихся в множестве точек (< его «мощности» ?), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике — любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

В понятие степени ветвления входит сечение множества, содержащее наименьшее количество точек, которые следует удалить для разъединения множества S. Кроме того, оно включает в себя и окрестности всех точек P, принадлежащих множеству S.

Окружность. Для плавного перехода от стандартной геометрии к фрактальной начнем с того, что назовем множеством S окружность радиуса 1. Окружность B с центром в точке P пересекает S в R=2 точках, за исключением тех случаев, когда радиус B больше 2 — при этом R=0. Диск, ограниченный окружностью B, называется окрестностью точки P. Таким образом, любая точка P лежит в какой-либо произвольно малой окрестности, граница которой пересекает S в R=2 точках. Вот, собственно, и все: если B является границей некоторой общей окрестности точки P, не обязательно круглой, но «не слишком большой», то R равно, по меньшей мере, 2. Слова «не слишком большой» в предыдущем предложении могут, несомненно, внести путаницу, однако избежать их, к сожалению, не представляется возможным. Величина R=2 называется степенью ветвления окружности. Заметим, что для всех точек окружности эта величина неизменна.

Салфетка. Положим теперь, что множество S — это салфетка Серпинского, построенная с помощью трем. Здесь R уже не является одинаковым для всех точек P. Позвольте мне, воспользовавшись рассуждениями Серпинского, показать, что во всех точках множества, за исключением вершин инициатора, значение R может быть равным либо 2(R_min) либо4(R_max).

Значение R=4 относится к вершинам любого конечного приближения к S с помощью треугольников. Вершина для аппроксимации порядка h?k является общей вершиной P для двух треугольников с длиной стороны 2 . Окружности с центром в точке P и радиусом 2^?k (при h>k) пересекают множество S в 4 точках и ограничивают произвольно малые окрестности точки P. А если B ограничивает «достаточно малую» окрестность точки P (при том, что вершины инициатора лежат вне B), то можно показать, что B пересекает S, по меньшей мере, в 4 точках.

Значение R=3 характеризует любую точку множества S, являющуюся пределом бесконечной последовательности треугольников, каждый из которых содержится внутри предшествующего ему треугольника и имеет вершины, отличные от вершин своего предшественника. Окружности, описанные вокруг этих треугольников, пересекают множество S в 3 точках, ограничивая при этом произвольно малые окрестности точки P. В этом случае, если B ограничивает достаточно малую окрестность точки P (вершины инициатора здесь также должны лежать вне B), то можно показать, что B пересекает S, по меньшей мере, в 3 точках.

Ковры. Когда множество S является ковром Серпинского, мы получаем радикально иной результат. Пересечение границы любой достаточно малой окрестности и S представляет собой несчетно бесконечное множество точек, причем независимо от параметров N, r или D.

Замечание. В этой дихотомии конечного/бесконечного салфетка немногим отличается от стандартных кривых, в то время как ковры неотличимы от плоскости.

Однородность. Единственность. Обозначив через R_min и R_max наименьшее и наибольшее значения R, достижимые в точке, принадлежащей множеству S, Урысон доказывает, что R_max?2R_min?2. Ветвление называется однородным, если выполняется равенство R_max=R_min, так бывает, когда R=2, как в простых замкнутых кривых, или когда R??.

Для других решеток, где R_max=2R_min?2, я предлагаю термин квазиоднородные. Самый простой и широкоизвестный пример таких решеток — самоподобная салфетка Серпинского. Другие неслучайные примеры входят в собранную Урысоном коллекцию (см. [571]) и не являются самоподобными. Таким образом, условиям квазиоднородности и самоподобности одновременно удовлетворяет только одно известное множество — салфетка Серпинского. Можно ли строго подтвердить эту, судя по всему, единственность?

Стандартные решетки. Здесь степень ветвления варьируется от минимального значения 2 для всех точек решетки, за исключением узлов, до переменного конечного максимального значения, достигаемого в узлах решетки: 4 (квадратная решетка), 6 (треугольная или кубическая решетка) или 3 (шестиугольная решетка). Однако по мере уменьшения размера ячейки стандартной решетки любого типа она трансформируется из кривой в область плоскости, и степень ее ветвления R устремляется к бесконечности.

Последнее становится более очевидным, если заменить бесконечно малое на бесконечно большое в решетке с фиксированным размером ячеек. Для того, чтобы изолировать все увеличивающуюся область решетки, придется пересечь неограниченно большое количество точек.

Формальное определение. < См. [426] и [38], с. 442. ?