42 ЭПИЛОГ: ПУТЬ К ФРАКТАЛАМ

В эссе о фракталах, написанных мною в 1975 и 1977 г., не было ни вступительного слова, ни заключения. Нет их и в настоящем эссе, однако мне хотелось бы сказать кое-что еще. Теперь, когда фрактальная геометрия находится в опасной близости от черты, перейдя которую, она неминуемо превратится в упорядоченную и благопристойную науку, самое время занести на скрижали краткую историю ее невероятного зарождения. И добавить несколько слов о ее относительном вкладе в научное понимание, описание и объяснение природных феноменов. Пока новая геометрия наступает по всем фронтам от описания до объяснения (общего, как в главах 11 и 20, или учитывающего специфические особенности того или иного прецедентного исследования), неплохо было бы припомнить, почему необычное (и непопулярное) пренебрежение к объяснению посредством «моделей» с самого начала шло ей только на пользу.

К настоящему моменту читатель уже, несомненно, хорошо знает, что характерное для фракталов распределение вероятностей следует гиперболическому закону, и что в теории фракталов в изобилии встречаются и другие соотношения, основанные на степенных законах. Признав действительность масштабной инвариантности и тщательно исследуя ее геометрически-физические воплощения, мы вдруг открываем для себя такое множество увлекательнейших занятий, что мне кажется чрезвычайно странным, как еще вчера все эти богатейшие новые земли принадлежали мне одному (по крайней мере, такое создавалось впечатление). Вокруг моих новых земель располагалось множество населенных и освоенных участков, а некоторые смельчаки даже пробирались через границу, осматривались и уходили прочь – никто не оставался надолго.

Это увлечение на всю жизнь началось с того, что в 1951 г. меня слегка заинтересовала закономерность, описывающая частотность употребления слов в речи, называемая законом Ципфа (см. главы 38 и 40), причем узнал я о ней из книжного обозрения. Сопутствующие обстоятельства представляются мне сейчас настолько символичными, что я начинаю сомневаться в том, так ли оно все и происходило. Упомянутое обозрение я выудил из корзины для ненужных бумаг одного «чистого» математика, имея в виду разжиться легким чтением на время поездки в парижском метро. Закон Ципфа оказалось несложным объяснить, а в качестве побочного эффекта моя работа поспособствовала рождению новой дисциплины – математической лингвистики. Однако изучение частотности употребления слов – это предприятие из разряда тех, что сами себя закрывают.

Как бы то ни было, последствия этого легкого интереса я продолжаю ощущать до сих пор. Осознав, что проделанная мною работа явилась (используя нашу теперешнюю терминологию) прецедентным исследованием полезности скейлинговых допущений, я начал обращать внимание на аналогичные эмпирические закономерности в различных областях человеческой деятельности, причем начал с экономики. Хотя этих закономерностей обнаруживается поразительно большое количество, в «организованной» науке принято считать их всего лишь незначительными отклонениями. Чем успешнее были мои объяснения упомянутых закономерностей, тем более явственно вырисовывался силуэт некого повсеместно распространенного феномена, который упорно отказывается признавать официальная наука и которому я мог на некоторое время посвятить свое время и энтузиазм.

Поначалу мои исследования заключались в обычном поиске подходящей порождающей модели, однако постепенно от такого подхода пришлось отказаться, так как я раз за разом сталкивался с ситуациями, когда малейшие изменения в, казалось бы, незначительных допущениях модели вызывали самые, что ни на есть кардинальные перемены в результатах предсказания. Например, многочисленные случаи появления гауссова распределения было принято «объяснять» с помощью стандартной центральной предельной теоремы – т.е. гауссово распределение представлялось как результат сложения многих независимых составляющих. Подобная аргументация обладала хоть какой-то объяснительной ценностью лишь постольку, поскольку исследователи – практики понятия не имели о всевозможных других центральных предельных теоремах, которые Поль Леви и прочие пионеры теории вероятности считали «патологическими». Между тем, изучение скейлинговых законов привело меня к убеждению, что естественным как раз является нестандартное центральное предельное поведение. К сожалению, как только стало ясно, что использование центральной предельной теоремы дает несколько возможных вариантов объяснения, такой подход потерял всю свою привлекательность и убедительность. Едва ли объяснение способно что-либо объяснить, если оно оказывается сложнее своего результата и если из равновероятных исходных вариантов следуют абсолютно различные предсказания.

Исследование последствий самоподобия принесло немало удивительных сюрпризов и помогло мне лучше разобраться в принципах устройства природных конструкций. И напротив, путаные рассуждения относительно причин масштабной инвариантности почти ни к чему хорошему не привели. Бывали дни, когда упомянутые рассуждения казались мне ничуть не лучше бредовых разглагольствований Ципфа о принципе наименьшего усилия (см. с. 559).

Настроение это еще усугубилось всплеском нового интереса к модели почти скейлинга в таксономии, первоначально предложенной Юлом в работе [613]. Интересующиеся были уверены, что данная модель предлагает универсальное объяснение любому проявлению масштабной инвариантности в общественных науках. Источником этой уверенности стала банальная техническая ошибка, и я не замедлили на это указать, однако многие из моих тогдашних читателей почему-то лишь укрепились во мнении, что масштабно-инвариантные соотношения в общественных науках имеют исчерпывающее универсальное объяснение и, следовательно (!), не заслуживают внимания.

В результате моя теперешняя склонность придавать последствиям большее значение, нежели причинам, только усилилась. Надо сказать, что очень скоро она вполне себя оправдала, - в частности, именно благодаря ей скейлинговые методы проявили себя в полную силу, когда (в1961 г.) я обратился к исследованию временных изменений цен на товары в условиях конкуренции (см. главу 37). Экономисты часто жалуются на недостаточность и низкое качество своих данных, однако поток данных о ценах и доходах, на мой взгляд, весьма изобилен. Однако экономическая теория и эконометрика, в силах которых, по их собственным заявлениям, внести ясность во взаимоотношения сотен нечетко определенных переменных, не осмеливаются делать какие-либо прогнозы относительно структуры ценовых изменений. Общепринятые же статистические методы оказываются не в состоянии выявить в имеющихся данных какой бы то ни было порядок. В. Леонтьев как-то заметил, что «ни в какой другой области эмпирического исследования использование такого огромного и сложного статистического аппарата не дает столь посредственных результатов». Результаты же, полученные с помощью скейлинговых методов работают поразительно хорошо. Свойство масштабной инвариантности сочетает в себе два наиболее ярких отличительных признака рыночных цен в условиях конкуренции: высокую дискретность и «цикличность» при отсутствии периодичности. Настоящее исследование, вполне возможно, является единственным примером использования в экономике симметрии инвариантности на физический манер.

В том же 1961 г. я применил идею масштабной инвариантности к нескольким шумовым феноменам. Надо сказать, что все свои разношерстные исследования я проводил в практически полной изоляции как от физиков, так и от математиков. Однако во время моего пребывания в Гарварде в качестве приглашенного профессора (1962 – 1964), Гаррет Биркгоф указал мне на некоторые аналогии между моим подходом и теорией турбулентности, созданной Ричардсоном и выдвинутой на новые рубежи Колмогоровым [276]. Хотя я и слышал об этой теории в бытность свою студентом, не думаю, чтобы ее влияние оказалось сильнее, чем влияние философской традиции, описанной в главе 41 в разделе АРИСТОТЕЛЬ …. В любом случае все это происходило задолго до того, как физики увлеклись скейлингом!

Далее, благодаря лекциям Р. У. Стюарта по перемежаемости турбулентности, я познакомился с другой работой Колмогорова ([277], 1962). Препринты этой и моей с Бергером статьи ([21], 1963) вышли буквально друг за другом с промежутком в несколько недель! Хотя Колмогоров ставил перед собой интересную задачу, в моем распоряжении имелись более мощные инструменты, которые я, кстати, без особых усилий адаптировал к турбулентности, получив в результате материал, составивший основное содержание глав 10 и 11.

Наконец, я узнал о существовании 1/f- шумов, прочел Херста [232, 233] и Ричардсона [494] и познакомился с проблемой кластеризации галактик. И снова я убедился в том, что пониманию как нельзя лучше способствуют хорошее описание и изучение следствий из него. Напротив, те модели, что я строил раньше, показались мне теперь не более чем бесполезными украшениями, подвешенными к описанию. Они отвлекли внимание от главных геометрических идей, которые я тогда формулировал, и по сути дела препятствовали пониманию. Я же никак не мог найти в себе силы от них отказаться, даже после того, как мои работы не были приняты к публикации. Что ж, те времена давно прошли, и объяснения в главах 11 и 20 (да и во всех остальных тоже) сделаны совсем из другого теста, и я рад за них.

Вот так моя увлеченность масштабной инвариантностью, постоянно подпитываясь новым энтузиазмом и обогащаясь, благодаря сменам области исследований, новыми инструментами и идеями, постепенно подводила меня к созданию полноценной общей теории. Причем теория эта никоим образом не следовала общепринятому порядку «сверху вниз», т.е. открытие, формулировка, «приложение». Ко всеобщему удивлению (включая и меня самого) она поднималась из скромных низов ко все более высоким (я бы даже сказал, головокружительно высоким) и величественным вершинам. Первые обзоры новой теории были представлены на Международном конгрессе логики и философии науки (1964), на Трамбулловских лекциях в Йеле (1971) и в Коллеж де Франс (1973 и 1974).

Геометрический аспект этой теории масштабной инвариантности приобрел большую значимость и дорос до фрактальной геометрии. Учитывая сильный геометрический уклон первых исследований турбулентности и критических феноменов, можно было ожидать, что теория фракталов будет разработана в рамках одной из этих областей. Этого, однако, не произошло.

В наши дни весьма редкими – с стало быть, аномальными – стали случаи проникновения в большую науку свежих концепций и новых методов из всевозможных низкорентабельных ее областей. Фрактальная геометрия являет нам один из новейших примеров таких исторических аномалий.