СЛУЧАЙНО РАЗМЕЩЕННЫЕ СЛОИ

Для того чтобы установить причину нестационарности кривых и поверхностей срединного смещения, рассмотрим координатную функцию X(t) некоторой кривой B^*_H(t). На каждом этапе построения мы получаем некоторую ломаную функцию ?_kX(t)=X_k(t)?X_k?1(t), нуль – множество которой, во-первых, периодично с периодом 2^?k и, во-вторых, включает в себя нуль – множество функции ?_k?1X(t). То есть можно сказать, что каждая такая ломаная функция находится в синхронии со всеми последующими.

Из-за того, что нуль - множества периодичны и синхронны («иерархичны»), приращения не могут быть стационарными. И наоборот, стационарности можно достичь путем устранения этих свойств.

Один из подходов состоит в построении ломаной функции ?B_k^f(t) следующим образом. Выберем пуассоновскую последовательность моментов времени t_n^(k) со средним числом точек на единицу времени, равным 2^k, затем положим, что функция принимает независимые и одинаково распределенные случайные значения, и, наконец, произведем линейную интерполяцию между моментами времени t_n^(k). Бесконечная сумма B_H^f(t) таких вкладов представляет собой некую стационарную случайную функцию, впервые описанную в докторской диссертации гидролога О. Дитлефсена (1969). (См. также [424] и [370].)

Оглянувшись назад, мы видим, что такое обобщение вовсе не требует, чтобы среднее число нулей было равно 2^k. Оно может иметь вид b^k, где b - любая вещественная база, большая 1.

Допустимые отношения приведения соответствующего фрактала задаются дискретной последовательностью r=b^?k. По мере того, как b?1, эта последовательность становится все более плотной, - в сущности, асимптотически непрерывной. Таким образом, функция B_H^f(t) становится как нельзя более приемлемой для тех, кому нужны стационарность и широкий выбор коэффициентов подобия. Однако при этом она, к сожалению, теряет свою специфичность. Из рассуждений в [370] явствует, что функция B_H^f(t) сходится к случайной функции B_H(t), которую мы рассмотрим в следующей главе.

Рис. 345. В роли художника – ошибка в программе, опус 1

Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 424 – 427.

Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.

Очевидно, что по замыслу в «правильных» иллюстрациях должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался нарушен, причем никакого другого порядка также не наблюдается.

То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд, - вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.