ПОНЯТИЕ АТТРАКТОРА

Настоящая глава опирается, по большей части, на одно давнее и весьма основательно позабытое наблюдение Анри Пуанкаре: «орбиты» нелинейных динамических систем имеют свойство притягиваться к странным множествам, которые я определяю как нелинейные фракталы.

Рассмотрим для начала простейший аттрактор – точку. «Орбита», определяемая движением маленького шарика после помещения его в воронку, начинает с некоторой спиралевидной траектории, точная форма которой зависит от исходных положения и скорости шарика, однако, в конце концов, сходится к горловине воронки; если диаметр шарика превышает диаметр отверстия воронки, то он там и останется. Для нашего шарика начало горловины воронки является устойчивой точкой равновесия, или устойчивой неподвижной точкой. В рамках достаточно удобной альтернативной описательной терминологии (которую, естественно, не следует интерпретировать с антропоцентрических позиций) горловину воронки можно назвать притягивающей точкой, или аттрактором.

В физической системе устойчивыми и притягивающими могут быть также окружность или эллипс. Например, мы все полагаем (и даже пламенно надеемся – хотя никто из нас не проживет достаточно долго для того, чтобы это имело хот какое-то значение), что солнечная система устойчива, подразумевая, что если орбите Земли и суждено претерпеть какие- либо возмущения, то она, в конце концов «притянется» назад на свою теперешнюю колею.

В более общем виде, динамическую систему принято определять следующим образом: состояние системы в момент времени t представляется точкой ?(t) на прямой, в плоскости, либо в некотором более многомерном евклидовом «фазовом пространстве» ?^E, а ее эволюция между моментами tи t+?t определяется правилами, в которые величина t явным образом не входит. Любую точку в фазовом пространстве можно принять за начальное состояние ?(0) при t=0, а за ней последует орбита, определяемая функцией ?(t) для всех t>0.

Основное различие между такими системами заключается в геометрическом распределении значений ?(t) при больших значениях t. Принято говорить, что динамическая система имеет аттрактор, если существует некое правильное подмножество A фазового пространства ?^E, обладающее следующим свойством: при почти любой начальной точке ?(0) и достаточно большом t точка ?(t) оказывается в малой окрестности какой-либо точки, принадлежащей A.