СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ И ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Обратимся теперь к одной очень важной конкретной задаче. При случайном блуждании без самопересечений (СББС) точка движется вперед, не обращая никакого внимания на свои предыдущие положения; исключением является лишь запрет проходить через одно место более одного раза и забредать туда, откуда невозможно найти выход. Все допустимые направления равновероятны.

На прямой такое движение не представляет никаких проблем: оно неизбежно распространяется в обоих направлениях и никогда не пересекает само себя.

Что касается плоского и пространственного случаев, то здесь возникает интересная и весьма сложная проблема – настолько сложная, что до сих пор ни одна аналитическая попытка найти ее решение не увенчалась успехом. Однако практическая значимость этой проблемы при изучении макромолекул (полимеров) настолько велика, что она стала объектом тщательных эвристических исследований и детального компьютерного моделирования. Ниже приводится наиболее интересный для нас результат, полученный Ч. Домбом и описанный в [15].

После n?1 этапов построения среднеквадратическое смещение R_n имеет порядок, равный величине n, возведенной в степень, которую мы обозначим через 1/D.

Исходя из этого утверждения, можно с большой долей уверенности заключить, что внутри окружности или сферы радиуса R с центром в некоторой точке случайного блуждания содержится приблизительно R^D других точек этого случайного блуждания. Хороший повод удостовериться, является ли величина D фрактальной размерностью.

В случае прямой D (тривиально) равно единице. Согласно теоретическим рассуждениям Флори и результатам компьютерного моделирования для E=2 и E=3, D=(E+2)/3 (подробнее об этом можно прочесть в замечательном обзоре [99] (раздел 1.3), правда, вместо D там используется обозначение 1/v). Фрактальная размерность D_B=2 броуновского движения превышает это значение в случаях E=2 и E=3, однако совпадает с ним при E=4.

Согласно предельному доказательству Кестена, D?2 только при условии, что E?2 . Однако предположение о том, что D=2 при любом E?4, подкрепляется изящной физической аргументацией, а также одним простым фрактальным доводом, который звучит следующим образом: при E?4 коразмерность броуновского движения равна двум, следовательно, коразмерность множества его двойных точек равна нулю, - а это означает, что броуновское движение не имеет двойных точек. Таким образом, без особых хлопот мы приходим к искомому выводу: Броуновское движение нигде не пересекает само себя.

Значения D, как оказалось, весьма чувствительны к исходным допущениям. Виндвер обнаружил, что если полимер в 3 – пространстве состоит из двух различных типов атомов (т.е., блуждание не ограничено решеткой), то D=2/1,29 , а это, по его мнению, существенно меньше значения, полученного Домбом (D=1,67~2/1,2). В случае полимера, растворенного в каком-либо реакционно-способном растворителе, пространство вложения оказывается еще менее инертным; величина D, в частности, становится в этом случае зависимой от протекающей реакции. Точка ? определяется как точка, в которой D принимает свое броуновское движение D_B=2. В хороших растворителях D<2, причем чем выше качество растворителя, тем меньше D; совершенный растворитель, в частности, дает D=2/1,57 при E=2 и D=2/1,37при E=3. Даже с самым плохим растворителем величина D в 2 – пространстве никогда не достигает значения D=2, однако в 3 – пространстве плохой растворитель с легкостью обеспечивает D>2. В действие вступают коагуляция и фазовое разнесение, и неразветвленная цепь больше не может считаться удовлетворительной моделью.

Предыдущие абзацы были написаны исключительно с целью выражения известных результатов в рамках фрактальной терминологии – мне думается, такое выражение поможет читателю яснее представить себе их значение. Тем не менее, следует еще раз подчеркнуть: называя величину D размерностью, мы тем самым допускаем, что многократно учащенные СББС слабо сходятся к некоему семейству фракталов, размерность которых совпадает с эмпирически наблюдаемым значением D . Физики на этот счет не испытывают никаких сомнений, однако привередливые математики настаивают на том, что на данный момент такое утверждение является не более чем предположением. В следующем разделе мы вкратце обрисуем направление, в котором может пойти доказательство упомянутого предположения.

Заметьте, мы вовсе не ожидаем, что фрактальный предел при учащении решетки окажется лишен пересечений, так как точки, в которых СББС «погружается» в свое отдаленное прошлое, становятся двойными точками. В самом деле, размерность множества двойных точек в этом случае положительна, (4?E)3>0. Мы, однако, можем ожидать, что тройных точек не будет, поскольку размерность их множества равна max(0,2?E)=0.

Последовательности, сильно сходящиеся к фракталам, несравненно легко поддаются изучению (как аналитически, так и с точки зрения вычислений), нежели СББС на четырех решетках. Следовательно, удобно было бы – если можно так выразиться – «оттенить» СББС некоторой последовательностью, благословенной обыкновенно (т.е. сильно) сходящимися приближениями. Этой цели можно достичь, используя предложенные мною «сквиг – кривые» (см. главу 24). Поразительно, но размерность наименее изощренных и наиболее изотропных сквиг - кривых оказывается чрезвычайно близка к значению D=4/3, характерному для плоских СББС. Еще одна «тень» - броуновское движение без самопересечений, определяемое на рис. 341 как граница оболочки ограниченного броуновского следа. Вспомним, что размерность этой границы также составляет D=4/3. Едва ли это просто совпадение – скорее, намек на возможность углубить наши знания о структуре плоскости.

В этом месте было бы интересно отступить немного в сторону и посмотреть, соответствует ли случайное блуждание без самопересечений космологическому принципу (см. главу 22). На первых этапах построения не наблюдается этого соответствия. Скорее всего, преобладающим окажется установившееся условно космографическое состояние (однако мне не известно, пытался ли кто-нибудь доказать это).