СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОШИБОК СОГЛАСНО МОДЕЛИ БЕРГЕРА – МАНДЕЛЬБРОТА

Это техническое отступление призвано показать, что основные результаты, касающиеся распределения ошибок в модели, основанной на канторовой пыли, остаются истинными и после рандомизации. Более того, в этом случае рассуждения и выводы значительно упрощаются, особенно если принять ?=?. Мы продемонстрируем применение условного математического ожидания в самоподобных процессах на следующем примере.

Предположим, что в интервале [0,R] имеется, по меньшей мере, одна ошибка; значение R находится в диапазоне, определяемом неравенствами R?? и R??. Такое условие имеет вид M(R)>0. Причина, по которой модель Бергера – Мандельброта называется условно стационарной, заключается в следующем: если интервал [t,t+d] целиком находится внутри интервала [0,R], то распределение условного количества ошибок, определяемого выражением {M(t+d)?M(t)|M(R)>0}, не зависит от t. Следовательно, достаточно рассмотреть его при t=0. Кроме того, учитывая аддитивность математических ожиданий, из одной лишь условной стационарности следует, что

<M(d)|M(R)>0>=(d/R)<M(R)|M(R)>0>.

Самоподобие же подразумевает, что

Pr{M(d)>0|M(R)>0}=(d/R)^1?D*,

где D^* - константа, определяемая спецификой рассматриваемого процесса. Для доказательства этого утверждения достаточно ввести некоторую промежуточную величину d', удовлетворяющую неравенству d<d'<R, и разложить нашу условную вероятность Pr в виде

Pr{M(d)>0|M(d')>0}Pr{M(d')>0|M(R)>0}.

Объединив два последних равенства, получим

<M(d)|M(d)>0>=(d/R)^?D*<M(R)|M(R)>0>.

Таким образом, для того, чтобы показать, что

<M(d)|M(d)>0>d^?D*=const,

вполне достаточно просто объединить условную стационарность с самоподобием. В данной конкретной модели D^*=D. Кроме того, из одного лишь самоподобия следует, что величины

{Момент возникновения первой ошибки|M(R)>0}/Rи

{M(R)>0|M(R)>0}/<M(R)|M(R)>0>

являются случайными величинами, зависящими от D, но не зависимых ни от R, ни от ?.

В отличие от условной вероятности, абсолютная вероятность обусловливающего события M(R)>0 сильно зависит от ?. Однако если усечение до ?<? произведено должным образом, то получается следующее равенство:

Pr{M(R)>0}=(R/?)^1?D.

Поскольку последнее выражение можно вывести из выражения, приведенного в предыдущем абзаце, просто заменив R на L, а d на R, событие «M(R)>0, если известно, что L<?» можно рассматривать как событие « M(R)>0, если известно, что M(L)>0». В пределе ??c вероятность того, что интервал [0,R] целиком поместится в некоторой очень длинной паузе, стремится к единице, т.е. вероятность возникновения ошибки становится бесконечно малой. Однако на выведенную ранее условную вероятность количества ошибок это никак не влияет.

Предыдущее рассуждение можно рассматривать как дополнение обсуждению условного космографического принципа в главе 22.

Рис. 398. Улицы, проложенные случайным образом

Как уже указывалось в главе 8, канторову пыль, к большому нашему сожалении, очень сложно изобразить непосредственно. Однако мы можем представить ее себе опосредованно, в виде пересечения троичной кривой Коха с ее основанием. Аналогичным образом можно опосредованно представить пыль Леви, На иллюстрации показаны черные полосы, напоминающие улицы и расположенные случайным образом; что особенно важно, их направления изотропны. Ширина «улиц» следует гиперболическому распределению и очень быстро уменьшается настолько, что их становится невозможно изобразить на рисунке. Площадь остаточного множества (участки белого цвета, или «кварталы») асимптотически приближается к нулю, а размерность D - к некоторой величине, меньшей 2.

Пока остаточные кварталы имеют размерность D>1, их пересечение произвольной прямой представляет собой пыль Леви с размерностью D?1. Если же D<1, то пересечение почти наверное является пустым множеством. Этот вывод, однако, не представляется очевидным, так как на рисунке невозможно отобразить сколько-нибудь поздний этап построения.

В главе 33 имеется более удачная иллюстрация. В случае, когда вычитаемые из плоскости тремы представляет собой случайным образом расположенные диски случайного размера, как показано на рис. 424 – 427, пересечения трема – фракталов с прямыми суть не что иное, как пыль Леви.

Рис. 399 и 400. Дьявольские лестницы поля Леви (размерность D=1; размерности множеств абсцисс ступеней раны, соответственно, D=9/10, D=3/10 и D=0,6309)

Эти графики представляют собой рандомизированные аналоги функции Кантора (иначе – чертовой лестницы) с рис. 125. Размерность наибольшей из этих лестниц Леви равна размерности Канторова оригинала; размерности двух оставшихся лестниц либо намного меньше, либо намного больше.

Для того чтобы построить лестницу Леви, рассмотрим абсциссу как функцию от ординаты. На первом этапе будем увеличивать абсциссу на некоторую случайную величину согласно распределению Pr(?X>u)=u^?D при всяком увеличении ординаты на величину ?y (в наших примерах ?y=0,002). На втором этапе масштабируем абсциссу так, чтобы лестница заканчивалась в точке (1,1). Количество ступеней в маленькой лестнице с D=0,3 кажется меньше из-за чрезвычайно сильной кластеризации абсцисс ступеней.