ПЕРЕХОД ПРИ ПОРОГЕ И ЛАКУНАРНОСТЬ

Рассматривавшиеся до сих пор подходы к описанию лакунарности являются внутренними, т.е. не подразумевают наличия какой бы то ни было внешней точки сравнения. Нам, однако, известно, что многие физические системы характеризуются конечным внешним порогом ?. Такие системы допускают еще один подход к лакунарности – не такой общий, как два предыдущих, но гораздо более удобный.

В самом деле, заменим наше фрактальное множество D, в котором ?=?, другим фрактальным множеством D_?, которое «похоже на D» при масштабах, меньших ?, и почти однородно при масштабах, больших ? . Примером порога ? может послужить, например, радиус перехода, при достижении которого размерность распределения галактик изменяется с D<E=3 на D=3. До сих пор этому переходу дозволялось существовать без точного определения, однако дальше так продолжаться не может. Идея заключается в том, что наблюдателю, расположившемуся на точке из множества D, порог ? представляется размером наименьшего элемента, который необходимо исследовать, дабы получить достаточно полное представление о целом. Обитателю множества D_? должно казаться, что менее лакунарный мир становится однородным очень быстро, более же лакунарный мир – очень медленно.

Немедленно возникает побуждение записать

<M(R)>=?R^Dпри R??

и <M(R)>=?R^E при R??

и доказать, что переход происходит при ?R^D=?R^E, т.е. при ?^E?D=?/?. Следовательно,

<M(R)>=??^D?ER^Eпри R??.

В малом варианте этого же подхода точка выбирается там, где две формулы имеют равные производные, следовательно, ?^*E?D=D?/E?. При увеличении лакунарности (т.е. ?) и фиксированных значениях ? и D возрастают как ?, так и ?^*. Оба варианта являются очередными кандидатами, претендующими на место определителя и меры лакунарности.