ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ. «ХАОС»

Б?льшая часть элементарной механики имеет дело с динамическими системами, аттракторами которых являются точки, почти окружности и другие фигуры евклидовой геометрии. Однако в действительности такие фигуры представляют собой редкие исключения, и поведение большинства динамических систем несравнимо более сложно: их аттракторы и репеллеры имеют явную тенденцию к фрактальности. В нескольких следующих разделах описываются примеры систем с дискретным временем, ?t=1.

Аттрактор-пыль. Коэффициент Фейгенбаума ?. Простейший пример можно получить с помощью возведения в квадрат (см. главу 19). В качестве вступления рассмотрим еще одно представление канторовой пыли C: N=2, R<1/2, охватываемый интервал [?r/(1?r),r/(1?r)]. Такое множество C является пределом множества C_n, определяемого как множество точек вида ±r±r²±...±rⁿ. При n?n+1, каждая точка множества C_n разделяется на две, а множество C представляет собой результат бесконечного количества таких бифуркаций.

Согласно П. Грассбергеру (источник – препринт статьи), аттрактор A_? отображения x??x(1?x) при вещественных ? аналогичен множеству C_n, но с двумя различными коэффициентами подобия, одним из которых является коэффициент Фейгенбаума 1/?~0,3995 (см. [144]). После бесконечного количества бифуркаций этот аттрактор превращается во фрактальную пыль A с размерностью D~0,538.

«Хаос». Ни одна точка множества A за конечный промежуток времени не посещается дважды. Многие авторы описывают эволюции на фрактальных аттракторах как «хаотические».

Самоаффинные деревья. Расположив множество A_? в плоскости (x,?), получим дерево. Поскольку ?=4,6692??, это дерево асимптотически самоаффинно с остатком.

Комментарий. В идеале теории следовало бы сосредоточиться на интересных по своей сути и реалистичных (но простых) динамических системах, аттракторами которых являются подробно изученные фрактальные множества. Имеющаяся же литература по странным аттракторам – пусть даже она чрезвычайно значима – весьма далека от этого идеала. Рассматриваемые в ней фракталы, как правило, недостаточно хорошо изучены, очень немногие из них действительно интересны, а большинство никак нельзя считать решениями сколь бы то ни было мотивированных задач.

Поэтому я был вынужден самостоятельно изобретать «динамические системы», которые бы поставили новые вопросы – для того, чтобы получить на них давно известные и удобные ответы. Я придумывал задачи таким образом, чтобы их решениями стали знакомые фракталы. Больше всего меня удивляет то, что эти системы оказались еще и интересными.