«ВИЖУ - ЗНАЧИТ ВЕРЮ»

В своем письме к Дедекинду, написанном в самом начале кризиса математики 1875 - 1925 гг., Кантор, ошеломленный своими поразительными находками, восклицает, переходя при этом с немецкого на французский, что он не может поверить в то, что он видит («Je le vois, mais je ne le crois pas!»1) И математика, словно бы поняв намек с полуслова, принимается усердно избегать обманчивых и искусительных ликов чудовищ. Какой контраст между безудержной вычурностью до- и контрреволюционной геометрии и практически полным отсутствием какого бы то ни было визуального сопровождения в работах Вейерштрасса, Кантора и Пеано! Аналогичный оборот приняли дела и в физике — после того, как в 1800 г. вышла в свет «Небесная механика» Лапласа без единой иллюстрации. Как выразился П. А. М. Дирак в предисловии к изданной в 1930 г. «Квантовой механике», «фундаментальные законы природы управляют мирозданием не так непосредственно, как мы себе это воображаем; они воздействуют на некий субстрат, о котором мы не можем создать для себя никакого представления, не исказив всей картины привнесением в нее наших собственных неуместных добавлений».

Широкое и некритичное приятие таких взглядов принесло в конечном счете немало неприятностей. Теория фракталов, как никакая другая, требует обратного подхода: «Вижу — значит верю.» Поэтому, прежде чем вы продолжите чтение, еще раз рекомендую некоторое время по- разглядывать иллюстрации, особенно те, что вошли в цветную «книгу в книге». Я строил свое эссе таким образом, чтобы его содержимое оказалось доступным (пусть и в различной степени) самому широкому кругу читателей; кроме того, в нем я пытаюсь убедить даже самых отъявленных пуристов от математики в том, что качественные иллюстрации не только помогают разобраться в уже известных понятиях, но и незаменимы при поиске новых концепций и создании новых теорий. Не так уж часто встретишь в современной научной литературе подобную веру в полезность графики.

Однако демонстрация красивых картинок не является главной целью этой книги; иллюстрации — это чрезвычайно полезный инструмент, но и только.

Следует также помнить о том, что любая попытка проиллюстрировать геометрию заведомо обречена на провал. Например, прямая обладает бесконечной длиной и гладкостью, а также бесконечно малой толщиной — в то время как любое изображение этой прямой имеет конечную длину, положительную толщину и неровные края. Тем не менее, многие считают, что созерцание грубого подобия прямой весьма полезно (некоторые даже полагают, что совершенно необходимо) для развития интуиции и облегчает нахождение решений и доказательств. Заметим, что грубое изображение прямой представляет собой более адекватную геометрическую модель, скажем, нити, чем сама идеальная математическая прямая. Иными словами, для практического использования вполне достаточно, чтобы и геометрическая концепция, и ее изображение были заключены между некоторыми определенными значениями характеристических размеров — большим, но конечным (внешний порог), и меньшим, но положительным (внутренний порог).

Сегодня, благодаря возможности строить изображения с помощью компьютера, такие грубые изображения приобрели практическую полезность и в случае фракталов. Например, все самоподобные фрактальные кривые также имеют бесконечную длину и бесконечно малую толщину. В то же время каждая из них демонстрирует свое, строго специфичное отсутствие гладкости, что делает задачу построения изображения таких кривых более трудной, чем самые сложные задачи евклидовой геометрии. Таким образом, согласно вышеупомянутым принципам даже самое лучшее изображение оказывается истинным только в очень ограниченном диапазоне. Однако установление ограничения на очень маленькие или очень большие детали не только вполне приемлемо, а даже в высшей степени разумно, поскольку и внешние, и внутренние пороги так или иначе либо присутствуют, либо предполагаются в Природе. Следовательно, типичную фрактальную кривую можно вполне удовлетворительно изобразить с помощью большого, но ограниченного количества элементарных штрихов.

Чем больше число таких штрихов и чем точнее они наносятся, тем ближе изображение к идеальной кривой, так как точное соблюдение относительных размеров штрихов и их взаимного расположения в пространстве играет весьма существенную роль в определении фрактала. Руками так не нарисуешь, а вот компьютер справляется просто превосходно. На содержание всех моих эссе в немалой степени повлияла возможность использования все более сложных компьютерных систем — равно как и возможность обратиться к услугам все более искушенных программистов, настоящих виртуозов своего дела, управлявших этими системами. Кроме того, мне посчастливилось получить доступ к аппарату, способному выдавать готовые к печати иллюстрации; некоторые результаты его работы вошли и в эту книгу.

Графическое представление — это чудесное средство для сопоставления моделей с реальностью. Когда данные случайной выборки согласуются с данными, полученными при помощи какого-либо аналитического метода, и при этом результаты моделирования не выглядят «реалистичными», винить следует именно аналитический метод. Формула может описать лишь малую долю взаимоотношений между моделью и реальностью, в то время как человеческий глаз обладает огромными способностями к интеграции и различению. Конечно, глаз иногда

принимает за истинные те отношения, которые впоследствии не подтверждаются статистическим анализом, но эта проблема возникает, как правило, в тех областях науки, где исследуемые объекты очень малы. Там же, куда направляемся мы с вами, объекты просто огромны.

Кроме того, графическое представление помогает обнаружить новые области применения для уже существующих моделей. Впервые я столкнулся с такой возможностью, разглядывая иллюстрацию, посвященную случайным блужданиям, в книге Феллера [147] — кривая на рисунке выглядела как контур рассеченной пополам горы, а те точки, где она пересекала временную ось, напомнили мне о некоторых данных из проводимого мною в то время исследования закономерностей возникновения ошибок на телефонных линиях. Посетившие меня в тот момент озарения привели в конце концов к теориям, представленным, соответственно, в главах 28 и 31. Мои собственные полученные с помощью компьютера иллюстрации аналогичным образом послужили источником вдохновения как для меня, так и для тех, кто по моей просьбе «примеривал» мои идеи к другим научным дисциплинам (каковых дисциплин, кстати, оказалось больше, чем я себе представлял).

Возможности графики естественным образом расширяет кинематография — фрагменты, посвященные некоторым классическим фракталам, можно увидеть в [417].