2. ЦИТАТА ИЗ ДЕ ВИСА И КОММЕНТАРИЙ

В работе де Виса [106] описана весьма простая и наглядная ситуация, требующая применения нелакунарных фракталов; там же приводится некая «рабочая гипотеза», о которой, на мой взгляд, стоит рассказать подробнее.

«Рассмотрим [месторождение руды] тоннажа W и средней степени чистоты M. Проведя воображаемый разрез, разделим месторождение на две части с одинаковым тоннажем ?W, но с различной средней степенью чистоты. Допустим, что чистота руды в более богатой половине равна (1+d)M, тогда чистота руды во второй половине должна быть равна (1?d)M, поскольку, согласно условию, средняя чистота руды в обеих половинах составляет M … Проведем еще один воображаемый разрез, разделяющий месторождение уже на четыре части с одинаковым тоннажем ?W и средними степенями чистоты (1+d)²M, (1+d)(1?d)M, (1+d)(1?d)M и (1?d)²M. После третьего разреза получаем 2³=8 частей, а именно: один блок со средней чистотой (1+d)³M, три блока с (1+d)²(1?d)M, три блока с (1+d)(1?d)²M и один с (1?d)³M. Несложно представить себе и дальнейшее разделение месторождения на все меньшие блоки.

Коэффициент d в качестве меры изменчивости вполне адекватно заменяет целое собрание различных трудноопределимых характеристик [милых сердцу тех, кто полагает, что оценка качества месторождения представляет собой, скорее всего искусство, чем науку], а используя основанные на этой мере статистические выводы, мы вполне способны обойтись без имеющегося в нашем распоряжении запутанного лабиринта из эмпирических правил и интуитивных методов».

Комментарий. До исследования геометрических аспектов своей модели де Вис так и не дошел, и ни он, ни его в остальных отношениях выдающиеся последователи (включая и Г. Матерона) не имели ни малейшего представления о фракталах. Однако если предположить, что плотность руды не зависит от степени ее чистоты (т.е. вес руды эквивалентен ее объему), то мы увидим, что в точности такую же модель исследовал в свое время – правда, с совершенно иными целями – теоретик А. С. Безикович вместе со своими учениками.

Забегая вперед, заметим, что если продолжить процесс де Виса (в его новой интерпретации) до бесконечности, то руда в пределе створаживается в нелакунарный фрактал. Для того чтобы записать его размерность в привычном для нас виде D=lnN^*/ln2), необходимо прежде определить lnN^* следующим образом:

lnN^*=???_iln?_i,

где ?₁=(1+d)³, ?₈=(1?d)³, ?₂=?₃=?₄=(1+d)²(1?d) и ?₅=?₆=?₇=(1+d)(1?d)².

Заключение. Догадку де Виса можно расценивать как вдохновенное прозрение, однако коэффициент dявно непригоден в качестве меры, так как он применим только к одной модели. Подходящей мерой изменчивости руды является размерность D.