КОНТИНЕНТ И ОСТРОВА КОХА. ИХ РАЗЛИЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Для построения коховского аналога канторовых пустот я разбиваю генератор на два не связанных друг с другом элемента. Чтобы получаемая фрактальная кривая оставалась интерпретируемой как береговая линия, генератор включает в себя связную ломаную, состоящую из N_c<N звеньев и соединяющую концевые точки интервала [0, 1]. Этот элемент мы назовем берег-генератором, так как он определяет, каким образом изначально прямое побережье преобразуется в побережье фрактальное. Оставшиеся N?N_c звеньев образуют замкнутую петлю, которая «порождает» острова и называется поэтому остров-генератором. Ниже приводится пример такого составного генератора:

На последующих этапах построения субострова всегда находятся у левой половины берег-генератора (при движении от 0 к 1) и остров-генератора (при движении по часовой стрелке).

Первая неожиданность: предельный фрактал в этом случае характеризуется двумя различными размерностями. Собрав вместе береговые линии всех островов, получим D=lnN/ln(1/r), однако береговая линия каждого отдельного острова имеет размерность D_c=lnN_c/ln(1/r), причем соблюдается неравенство

1?D_c<D.

Суммарная береговая линия, не будучи связной, является сама по себе не кривой, а бесконечной суммой (?) замкнутых кривых (петель). Предлагаю ввести для ее обозначения термин сигма-петля (или ?- петля).

Заметим, что моделирование полученного соотношения между D и D_c при описании реальных островов требует некоторых дополнительных допущений, кроме, разумеется, тех случаев, когда его можно вывести из соответствующей теории (см. главу 29).