ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ КОХА С ВРЕМЕННÓЙ РЕШЕТКОЙ

Напомним, что можно построить снежинку Коха с основанием N=2, используя генератор, составленный из двух интервалов длины 1/?3. В этом случае – вообще говоря, в любом случае, когда генератор состоит из двух интервалов длины 2^?1/D, где D<2, - само построение определяет, в каком направлении смещаются средние точки сторон - го терагона: влево или вправо. Смещение всегда ортогонально к соответствующей стороне, и квадрат его длины задается следующей разностью:

2^?2(k+1)/D?2^?2(k/D+1).

Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение. Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадратическому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. Обозначим ее через B^*_H(t), где H=1/D, что вскоре получит исчерпывающее объяснение.

В результате соотношение между смещением ?B^*_H на временн?м промежутке 2^?k и двумя интерполированными смещениями ?₁B^*_H и ?₂B^*_H принимает вид

<|?₁B^*_H|^D+|?₂B^*_H|^D?|?B^*_H|^D>=0,

где D - некоторая произвольно заданная величина, меньшая 2.

Отсюда следует, что если временной интервал [t',t"] является двоичным, т.е. если t'=h2^?k и t''=(h+2)2^?k, то верно следующее:

<|?B^*_H|²>=?t^2/D=|?t|^2H.

Величину H в качестве параметра мы выбрали потому, что она представляет собой показатель при среднеквадратическом смещении.

Можно также показать, что если ?B^*_H(0)=0, то функция B^*_H(t) статистически самоподобна относительно отношений приведения вида 2^?k. Это – весьма желательное обобщение наших знаний о конструкциях с размерностью D=2.