ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОЗАИКА ИЛИ ТАЙЛИНГ

Не многим из поклонникам творчества Морица Эшера известно, что этот знаменитый рисовальщик частенько черпал вдохновение непосредственно из трудов «неизвестных» математиков и физиков (см. [89]). Вся его работа часто состояла в простом добавлении украшений к самоинверсным мозаикам, известным Пуанкаре и представленным на многочисленных иллюстрациях в [154].

Эти множества (обозначим их через T) получаются посредством объединения кланов самих окружностей C_m.

Так как группа G нехаотична, дополнением объединенных кланов окружностей C_m является совокупность круговых многоугольников, называемых «открытыми плитками». Любую открытую плитку (или ее замыкание) можно трансформировать в любую другую открытую (или замкнутую) плитку посредством последовательности инверсий, принадлежащих группе G. Иными словами, клан любой замкнутой плитки есть ?^?. Что более важно, клан любой открытой плитки есть дополнение множества T. А T является, так сказать «раствором», на который укладываются эти плитки. Плоскость ?^? самоинверсна. Множество T и его дополнение также самоинверсны и образуют «гиперболическое разбиение» или «мозаику» на плоскости ?^?. (Английское слово tessellation, «мозаика», происходит от латинского tessera «квадрат», которое, в свою очередь, восходит к греческому ???????? «четыре», однако плитки вовсе не обязательно должны быть четырехугольными – подойдет любое число, большее 2.) А на рисунках Эшера каждая плитка украшена вдобавок причудливой картинкой.