БРОУНОВСКИЙ СЛЕД: САМОПОДОБИЕ

Из отсутствия складок вытекает весьма сильная форма статистического самоподобия. Положим B(0)=0, выберем два положительных числа h и h' и воспользуемся разделом теории вероятности, который называется теорией слабой сходимости. Согласно этой теории, функции h^??B(ht) и h'^??B(h't) статистически тождественны. Положив далее T<? и h<1 и изменяя t в интервале от 0 до T, мы обнаруживаем, что функция h^??B(ht) представляет собой некоторое подобие участка функции B(t) в уменьшенном масштабе. Эту статистическую тождественность части целому можно рассматривать как форму самоподобия.

Самоподобие в приложении к случайным множествам – понятие не столь строгое, как то, с которым мы познакомились в главе 5, так как здесь части не обязательно должны быть в точности подобны целому. Достаточно того, что части и уменьшенное в масштабе целое имеют одинаковые распределения.

Заметим, что кривые Коха допускают только коэффициенты подобия вида r=b^?k, где b - целое число, для броуновского же следа сгодится любое r. Весьма ценное свойство.