МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ УСЕЧЕНИИ

Связь гиперболического распределения с масштабной инвариантностью основывается на следующем свойстве (присущем только гиперболическому распределению): распределение нормированной усеченной случайной величины «U/u₀, если U/u₀>1» не зависит от u₀.

Доказательство. Пусть имеется некоторое основное распределение P(u), причем нормированная усеченная с. в. W=U/u₀ имеет обычное условное распределение P(wu)/P(u₀₎. Нам нужно, чтобы это условное распределение было одинаковым для u₀=h' и u₀=h''. Запишем v'=lnh' и v''=lnh'' и рассмотрим функцию R=lnP(u) как функцию от v=lnh. Для получения искомого тождества P(uh')/P(h')=P(uh")/P(h") необходимо, чтобы при любом выборе значений v,v' и v'' выполнялось равенство R(v'+v)?R(v')=R(v"+v)?R(v"). А для этого функция R должна быть линейной функцией от v.