7. ПРОЕКЦИИ МНОЖЕСТВ

Эмпирическое правило таково: когда фрактал S размерности D проецируется вдоль независимого от S направления на евклидово подпространство размерности E₀, для проекции S^* верно равенство:

размерность S=min(E₀,D).

Приложение. Пусть x₁?S₁ и x₂?S₂, где S₁ и S₂ - фракталы в ?^E с размерностями D₁ и D₂. Через a₁ и a₂ обозначим некие неотрицательные вещественные числа и определим множество S как множество, составленное из точек вида x=a₁x₁+a₂x₂. Размерность D этого множества удовлетворяет неравенству:

max(D₁,D₂)?D?min(E,D₁+D₂).

Для доказательства находим прямое произведение ?^E на ?^E и проецируем.

В случае независимости множеств скорее всего подойдет и верхний предел размерности. При D=E=1 множество S является либо фракталом, либо множеством с интервалами.