«КРИВЫЕ» ПЕАНО, ДВИЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ

Упомянутые предельные кривые, представленные на иллюстрациях в конце главы, называются кривыми Пеано, поскольку первая из них была построена Пеано в 1890 г. [465]. Их также называют заполняющими плоскость. Для таких кривых остается справедливым формальное определение размерности lnN/ln(1/r)=2, хотя и не из тех соображений, из каких нам хотелось бы. С математической точки зрения, кривая Пеано — всего лишь несколько необычное представление области или участка плоскости, а все классические определения единодушны в том, что размерность такого участка равна 2. Иными словами, человеку благоразумному следует избегать употребления термина кривая, заполняющая плоскость.

К счастью, большая часть «кривых» Пеано, включая и полученные путем рекурсивного построения Коха, поддается естественной параметризации с помощью скалярной величины t, которую можно назвать «временем». Имея дело с такими кривыми, мы вполне можем (не опасаясь ревнителей математической строгости) использовать термины «движения Пеано», «заполняющие плоскость движения», «движения, проходящие по всем плиткам» или просто «прохождения по плиткам» (о плитках и пертайлинге мы поговорим позже в этой же главе). И мы не замедлим воспользоваться этими терминами, когда наступит подходящий момент; хочу только напомнить, что жанр эссе, согласно своей специфике, ни в коей мере не подразумевает полного освещения того или иного вопроса.