СТАЦИОНАРНОСТЬ. СТЕПЕНИ СТАЦИОНАРНОСТИ

Используя в научных текстах «обыкновенные» слова, мы либо а) имеем в виду их общеупотребительные, «мирские» значения (выбор которых зависит от автора), либо б) придаем им статус формальных определений (для чего выделяем какое-либо особое значение и заносим его на – в данном случае – математические «скрижали»). Терминам стационарный и эргодический повезло в том смысле, что математики достигли согласия относительно их значения. Я, однако, имел возможность на собственном опыте убедиться в том, что многие инженеры, физики и статистики-практики, признавая математическое определение на словах, на деле придерживаются более узких взглядов. Мне же, напротив, хотелось бы расширить математическое определение. Ниже я перечислю основные недоразумения, возникающие при употреблении упомянутых терминов, и попытаюсь объяснить, почему математическое определение нуждается в расширении.

Математическое определение. Процесс X(t) является стационарным, если распределение величины X(t) не зависит от t, а совместное распределение X(t₁+?) и X(t₂+?) не зависит от ?; причем то же верно и для совместных распределений X(t₁+?)...X(t_k+?) при всех k.

Первое недоразумение (философия). Согласно распространенному мнению, научной может считаться та деятельность, объектом которой являются феномены, подчиняющиеся неизменным правилам. Неверное понимание стационарности чаще всего является следствием именно такого взгляда на вещи: многие полагают, что под стационарностью подразумевается всего лишь инвариантность во времени управляющих процессом правил. Это далеко не так. Например, приращение броуновского движения B(t₁+?)?B(t₂+?) представляет собой гауссову случайную величину, среднее и дисперсия которой не зависят от ?. Не зависит от ? и правило построения множества нулей броуновского движения. К стационарности, однако, имеют отношение только те правила, которые управляют значениями самого процесса. В случае броуновского движения эти правила не являются инвариантными во времени.

Второе недоразумение (прикладная статистика). Статистики предлагают нам множество методов (иногда даже в виде программного обеспечения для компьютеров) «анализа временных рядов»; на деле же диапазон возможностей этих методов оказывается гораздо ?же, чем можно было бы ожидать, судя по ярлыку. Это неизбежно, так как математическая стационарность – понятие слишком общее для того, чтобы какой-нибудь отдельный метод оказался бы применим ко всем возможным случаям. Однако тем самым статистики невольно воспитывают в своих клиентах убежденность в том, что понятие «стационарного временн?го ряда» тождественно другим, более узким понятиям, охватываемым тем или иным методом. Даже в тех случаях, когда авторы методов берут на себя труд проверить свои творения на «устойчивость», они учитывают лишь минимальные отклонения от простейшего состояния, не принимая в расчет весьма радикальных отклонений, ничуть не противоречащих стационарности.

Третье недоразумение (инженеры и физики). Многие исследователи (отчасти благодаря более ранним недоразумениям) полагают, что если выборочный процесс стационарен, то это означает, что он «может сдвигаться вверх и вниз, но остается в некотором роде статистически тем же». Такая интерпретация вполне годилась на раннем, «неформальном», этапе, однако в настоящий момент она неприемлема. Математическое определение описывает лишь правила порождения, но никак не затрагивает порождаемые объекты. Когда математики впервые столкнулись со стационарными процессами с чрезвычайно беспорядочными выборками, они были поражены тем, что понятие стационарности может включать в себя такое изобилие самых различных и неожиданных форм поведения. К сожалению, именно такие формы поведения многие практики наотрез отказываются признавать стационарными.

Серая зона. Нет никаких сомнений в том, что граница между стационарными и нестационарными процессами проходит где-то между белым гауссовым шумом и броуновским движением; споры вызывает лишь точное ее местонахождение.

Уточнение границы с помощью масштабно-инвариантных шумов. Гауссовы масштабно-инвариантные шумы (см. главу 27) могут послужить весьма удобным средством для уточнения спорной границы, поскольку их спектральная плотность имеет вид f^?B, где B?0. Для белого шума B=0, для броуновского движения B=2, граница же между стационарными и нестационарными процессами попадает на различные значения B в зависимости от того, какими соображениями руководствуются «землемеры».

Математики, желая избежать «инфракрасной катастрофы», помещают границу при значении B=1, так как условие ₀?¹f^?Bdf<? эквивалентно B<1.

Однако поведение выборки масштабно-инвариантного шума при B=1 изменяется весьма плавно. В сущности, гораздо более заметные изменения происходят при переходе от B=0 к B>0 - настолько, надо сказать, заметные, что исследователи-практики склонны считать нестационарной любую выборку с B>0. Стремясь быть последовательными, они также заявляют, что для представления данных, которые выглядят, как выборка с B>0, необходима исключительно нестационарная модель.

Я, в свою очередь, обнаружил, что вследствие исключения из рассмотрения значений B>1 определение стационарности оказывается недостаточно общим для многих прецедентных исследований.

Условно стационарные спорадические процессы. Например, теория фрактальных шумов (см. главу 9) позволяет предположить, что процесс, состоящий из броуновских нулей стационарен в ослабленной форме. В самом деле, предположим, что где-то в промежутке между t=0 и t=T имеется хотя бы один нуль. Результатом такого предположения будет случайный процесс, зависящий от T как от дополнительного внешнего параметра. Я отмечал, что совместное распределение значений X(?+t_m) не зависит от t при условии, что все моменты времени ?+t_m находятся между 0 и T. Таким образом, нестационарный процесс броуновских нулей неявно включает в себя целый класс случайных процессов, каждый из которых условно стационарен, чего часто бывает вполне достаточно.

Процессы этого класса так тесно взаимосвязаны, что в [352] я даже предложил рассматривать их как один обобщенный стохастический процесс, называемый спорадическим процессом. Отличие такого процесса от стандартного случайного процесса заключается в том, что мера ?(?) всего выборочного пространства ? бесконечна. То есть эту меру никак нельзя нормализовать к виду ?(?)=1. О бесконечной мере ?(?) для случайных переменных писал еще Реньи [489]. Для того чтобы мера ?(?)=? не привела к катастрофе, в теории обобщенных случайных величин делается допущение о том, что эти величины наблюдаются только будучи обусловленными некоторым событием C, таким, что 0<?(C)<?.

Хотя применимость случайных переменных Реньи очень ограниченна, спорадические функции оказываются иногда весьма полезными: в частности, с их помощью мне в [352] удалось избежать в нескольких случаях инфракрасной катастрофы, объяснив тем самым существование некоторых масштабно-инвариантных шумов с B?[1,2].

Эргодичность. Перемешивание. Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами (если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. Не позволяйте ввести себя в заблуждение – это не так. Например, масштабно-инвариантные шумы с 0<B<1 представляют собой процессы со слабым перемешиванием и ни в коем случае не с сильным.

Четвертое недоразумение (относительно возможности предельной сходимости к B(t)). Широко распространено мнение, согласно которому высказывание «процесс X(t) стационарен» равносильно утверждению о том, что его текущую сумму можно нормализовать таким образом, чтобы она сходилась к броуновскому движению. Математикам давно известно, что это мнение лишено каких бы то ни было оснований (см. [177]), а во многих из прецедентных исследований настоящего эссе участвуют функции X(t), которые ему прямо противоречат благодаря либо эффекту Ноя (<X²(t)>=?), либо эффекту Иосифа (бесконечная зависимость, как в f^?B - шумах с B>0). Следует сказать, однако, что почти все мои прецедентные исследования были на некотором этапе a priori раскритикованы неким «экспертом», который утверждал, что исследуемые феномены явно нестационарны, и, следовательно, мои стационарные модели изначально обречены на неудачу. Рассуждение ошибочное, но психологически очень значимое.

Заключение. Вокруг границы между математически стационарными и нестационарными процессами не прекращаются бурные семантические диспуты. На практике же граница оккупирована процессами, которые хотя и не отвечают нашим интуитивным представлениям о стационарных процессах, все же способны выступать в роли объектов научного исследования. Эти процессы весьма пригодились и мне – как в настоящем эссе, так и в остальной исследовательской работе.

Лексические проблемы. И снова возникает необходимость в новых терминах. Возьму на себя смелость порекомендовать термин установившийся в качестве а) синонима того, что математики называют «стационарный и такой, что сумма X^*(t) сходится к B(t)», и б) термина для обозначения того интуитивного понятия, которое исследователи-практики склонны именовать «стационарностью». Обратное понятие можно обозначить терминами неустановившийся или блуждающий.

В одной из своих ранних работ (а именно: в [373]) я предложил называть установившиеся процессы лапласовыми и мягкими. Последнее слово употреблено в значении «безопасный, легко контролируемый»; это значение показалось мне вполне подходящим, поскольку, имея дело с таким случайным процессом, можно не опасаться каких-либо сюрпризов с его стороны – не стоит ждать от него тех резких отклонений и разнообразных конфигураций, благодаря которым анализ блуждающих случайных процессов представляет собой более сложное, но и гораздо более интересное занятие.