4. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗОКРУЖНОСТИ В ПРЯМУЮ

Броуновский мост с петлями. Возьмем периодическую функцию от t, которая на временн?м промежутке 0<t?2? совпадает с броуновским мостом B_B(t), и выберем случайным образом (равномерно) приращение ?t на интервале [0,2?]. Функция B_B(t+?t) статистически стационарна (см. раздел стационарность) и может быть представлена как случайный ряд Фурье – Броуна – Винера. Коэффициентами являются независимые гауссовы случайные величины, причем их фазы полностью случайны, а модули пропорциональны n^?1 (т.е. f^?2), а совокупная спектральная энергия в области частот, превышающих f, пропорциональна f^?1.

Практическое следствие, касающееся моделирования. Моделирование функции B(t) неизбежно производится на конечном временн?м промежутке. Если в качестве такого промежутка взять интервал [0,2?], то можно использовать при моделировании дискретные конечные методы Фурье. Сначала с помощью быстрого преобразования Фурье вычисляется броуновский мост, а затем добавляется необходимый случайный тренд.

Литература. Книга Пейли и Винера [461] знаменита своей неумолимой алгеброй. Однако в главах IX и X этой книги имеются очень основательные пояснительные параграфы, которые, несомненно, стоит прочесть. Могу порекомендовать также монографию Каана [248], но только математикам, так как полученные в ней результаты простыми словами не объясняются.

Броуновский мост с нечетными петлями. Функции B_O(t)=?[B^B(t)?B^B(t+?)] и B_E(t)=?[B^B(t)?B^B(t+?)] представляет собой суммы гармонических составляющих мостовой функции B_B(t) с нечетными и с четными номерами, соответственно. Достоинство нечетной суммы состоит в том, что ее можно получить непосредственно из белого гауссова шума B'(t), построенного на окружности:

B_O(t)=_???⁰B'(t?s)ds?₀?^?B'(t?s)ds.

Броуновская функция из прямой в окружность. Возьмем броуновскую функцию B(t), отбросим ее целую часть, и умножим дробный остаток на 2?. Результат определяет положение точки на единичной окружности. Эта броуновская функция из прямой в окружность упоминается здесь, в основном, для того, чтобы никто не перепутал ее с какой-либо из вышеописанных, весьма отличных от нее, функций.