УСЛОВНО СТАЦИОНАРНЫЕ ОШИБКИ [21]

В главе 8 мы с восторгом обнаружили, что канторова пыль представляет собой вполне приемлемую модель главных характерных особенностей некоторых избыточных шумов в первом приближении. Однако мы даже не попытались проверить действительное соответствие модели реальным данным. Причина, очевидно, заключается в том, что мы заранее знали – никакого соответствия здесь нет и в помине. Канторова пыль слишком правильна для того, чтобы служить точной моделью любого из известных мне естественных иррегулярных феноменов. В частности, коэффициенты самоподобия канторовой пыли ограничены величинами вида r^k. Кроме того, способ построения канторовой пыли также накладывает свой отпечаток (весьма неудачный, надо сказать): канторово множество не сможет быть совмещено само с собой посредством сдвига – иными словами, оно не является инвариантным относительно сдвига.

Иррегулярность можно легко привнести – для этого существует рандомизация. Что касается инвариантности при сдвигах, то от нашей искомой замены канторову множеству потребуется лишь инвариантность в статистическом смысле. В рамках вероятностной терминологии это означает, что множество должно быть стационарным или, по меньшей мере, удовлетворять некоторому подходящим образом смягченному условию стационарности.

В главе 23 было предложено весьма простое средство для частичного достижения этой цели. В настоящей главе мы продвинемся еще на три шага вперед.

Первый шаг можно позаимствовать из самой ранней реалистичной модели перемежаемости. В работе [21] мы начали с некоторого конечного приближения пыли с порогами ?>0 и ?<?, а затем случайным образом перемешали пустоты, чтобы добиться их статистической независимости друг от друга. Интервалы длины ? между последовательными пустотами мы оставили неизменными. В главе 8 показано, что относительное количество пустот, длина которых превышает u, задается в канторовой пыли почти гиперболической ступенчатой функцией. Рандомизация по-новому интерпретирует эту функцию в качестве распределения вероятностей больших отклонений Pr(U>u).

В результате получаем рандомизированную канторову пыль с ?>0. К сожалению, ступени распределения Pr(U>u) все еще сохраняют в себе следы исходных значений N и r. Поэтому в [21] мы сгладили эти ступени: мы положили, что длины последовательных пустот, измеренные в единицах ?, представляют собой статистически независимые целые числа ?1, причем их распределение имеет следующий вид:

Pr(U>u)=u^?D.

Соответствие этой модели действительности оказалось на удивление хорошим: немецкие государственные телефонные линии показали D~0,3, а согласно сообщениям других авторов, исследовавших позднее другие каналы, значение D варьируется от 0,1 до почти 1.

Длительности последовательных пустот в нашей с Берегером модели независимы; следовательно, ошибки представляют собой то, что в теории вероятности называется «процессом восстановления» или «возвратным процессом» (см. [147]). Каждая ошибка – это точка возврата, где прошлое и будущее статистически независимы друг от друга и следуют одинаковым для всех ошибок правилам.