ЛАКУНАРНОСТЬ КАК ЭФФЕКТ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО МАССОВОГО ПРЕФАКТОРА

Для описания нерекурсивно построенных фракталов (например, случайных фракталов) нам необходимы какие-то иные способы определения лакунарности. Способы, описанные в этом и следующем разделах, представляет собой всего лишь статистические усреднения (даже в случае неслучайной канторовой пыли).

Рассмотрим для начала канторовы пыли, представляющие собой горизонтальные сечения двух фигур, изображенных на рис. 439. Положим общую массу каждой пыли равной 1 и рассмотрим массу, содержащуюся в различных подынтервалах одинаковой длины 2R=2/7. В левом, более лакунарном, примере эта масса изменяется в довольно широких пределах (от 0 до ?), тогда как в менее лакунарной фигуре справа изменения массы происходят лишь в небольшой окрестности некоторого среднего значения. К сожалению, в случае регулярной канторовой пыли весьма сложно точно вычислить распределение масс; в этом смысле гораздо удобнее рассмотреть более простой случай полностью случайной канторовой пыли D.

Предположим, что пыль D пересекает интервал [0,1], и обозначим ожидаемую в этом интервале массу через (W) (причина такого обозначения вскоре прояснится). Если выбрать внутри интервала [0,1] некий малый интервал [t,t+2R], то ожидаемая в этом интервале масса будет равна, как и полагается, 2R(W). Однако, исключив малоинтересные случаи, где масса обращается в нуль, мы обнаружим, что ожидаемая масса возросла до 2r^D(W). Ее значение зависит теперь от D - и ни от чего другого. (это означает, что вероятность пересечения нашей пылью интервала [0,1] равна (2R)^1?D.) Иными словами, саму массу можно записать в виде W(2R)^D, где W - некоторая случайная величина: иногда большая, в других случаях малая, но в среднем равная (W), независимо от степени лакунарности.

Копнем теперь глубже и выясним, насколько сильно действительные значения W/(W)?1 отличаются от нуля. Общепринятой мерой такого отклонения является ожидаемое значение выражения второго порядка (W/(W)?1)², записываемое как <(W/(W)?1)²>. В тех случаях, когда невооруженным глазом видна низкая лакунарность фрактала, значение лакунарности второго порядка также мало, когда же степень лакунарности фрактала очевидно высока, значение лакунарности второго порядка велико. Таким образом, величину (W/(W)?1)² можно считать кандидатом в определители лакунарности. Имеются и достаточно привлекательные альтернативные варианты (например, <|W/(W)?1|>), однако они гораздо сложнее в оценке, нежели средний квадрат.

Подведем итоги: мы вышли за рамки соотношения «масса пропорциональна R^D» и обратили отдельное внимание на префактор пропорциональности массы величине R^D. Отметим также, что понятие лакунарности не имеет ничего общего с топологией и касается лишь различий во фракталах при одинаковом значении D; возможность ее использования для сравнения фракталов с разными размерностями остается пока неисследованной.