ПРОСТЕЙШИЕ СКВИГ – КРИВЫЕ [393]

Простейшей сквиг – кривой является случайная фрактальная кривая, построенная в [393, 394] и более подробно изученная в [473, 474, 475]. Эта модель русла реки, созданная по образу и подобию известных картинок из учебников по географии и геологии, на которых изображены последовательные этапы развития реки, промывающей себе путь через долину; с каждым этапом будущее русло приобретает все более четкие очертания.

Перед началом k- го этапа река течет в «предсквиг – долине», составленной из ячеек правильной треугольной решетки со стороной 2^?k. Разумеется, ни в одну ячейку нельзя наведываться более чем однажды, к тому же каждое звено в решетке должно касаться сторонами двух соседних звеньев, оставляя третью сторону «свободной».

На k- м этапе эта предсквиг – кривая заменяется другой, более точной, построенной на интерполированной решетке со стороной 2^?k?1. Очевидно, что предсквиг – кривая (k+1)- го порядка обязательно содержит половину каждой стороны, общей для двух соседних звеньев k- го порядка. Верно также строгое обратное утверждение, а именно: положение общих (несвободных) половин сторон однозначно определяет вид предсквиг – кривой k- го порядка.

Симметрично – случайные сквиг – кривые. Будем выбирать половину стороны, которую следует оставить свободной, случайным образом, полагая, что каждый из вариантов равновероятен. Тогда число звеньев (k+1)- го порядка внутри звена k- го порядка равно 1 с вероятностью 1/4 или 3 с вероятностью 3/4. Среднее значение составит 2,5.

С каждым этапом долина сужается и в пределе асимптотически сходится в некую фрактальную кривую. Я, естественно, предположил, что размерность этой предельной кривой равна D=ln2,5/ln2=1,3219. Доказательство (весьма деликатное, надо сказать) можно найти в [473].

Асимметрично – случайные сквиг – кривые. Предположим, что вероятность того, что после разделения стороны треугольника на две половины поддолина выберет, скажем, «левую», не равна 1/2. Понятия «правый» и «левый» можно определять либо с позиции наблюдателя, смотрящего в направлении вниз по реке, либо с позиции наблюдателя, находящегося в центре разделяемого треугольника. В первом случае D=ln[3?p²?(1?p²)]/ln2 и может принимать значения от 1 до ln2,5/ln2. Во втором случае D=ln[3?2p(1?p)]/ln2 и может принимать значения от ln2,5/ln2 до ln3/ln2. В общей сложности допустимы все значения D от 1 до ln3/ln2.